Buktikan setiap pernyataan matematis berupa barisan berikut

Pernyataan 1+2+3+...+n=1/2 n(n+1) terbukti benar untuk semua bilangan bulat positif n menggunakan prinsip induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan matematis 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n(n+1) menggunakan induksi matematika, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Basis Induksi (Pembuktian untuk n=1)
Kita harus menunjukkan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Sisi kiri: 1
Sisi kanan: 1/2 * 1 * (1+1) = 1/2 * 1 * 2 = 1
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (1 = 1), pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 k(k+1)

Langkah 3: Langkah Induktif (Pembuktian untuk n=k+1)
Kita harus menunjukkan bahwa jika pernyataan tersebut benar untuk n=k, maka pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1.
Artinya, kita harus membuktikan:
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 1/2 (k+1)((k+1)+1)
1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = 1/2 (k+1)(k+2)

Mulai dari sisi kiri pernyataan untuk n=k+1:
(1 + 2 + 3 + ... + k) + (k+1)

Berdasarkan hipotesis induksi, kita bisa mengganti (1 + 2 + 3 + ... + k) dengan 1/2 k(k+1):
[1/2 k(k+1)] + (k+1)

Sekarang, kita faktorkan (k+1):
(k+1) [1/2 k + 1]

Samakan penyebut di dalam kurung:
(k+1) [k/2 + 2/2]
(k+1) [(k+2)/2]

Susun ulang untuk mendapatkan bentuk yang diinginkan:
1/2 (k+1)(k+2)

Ini adalah sisi kanan dari pernyataan untuk n=k+1.

Kesimpulan:
Karena pernyataan tersebut benar untuk n=1 (basis induksi), dan jika pernyataan tersebut benar untuk n=k maka juga benar untuk n=k+1 (langkah induktif), maka berdasarkan prinsip induksi matematika, pernyataan 1 + 2 + 3 + ... + n = 1/2 n(n+1) benar untuk semua bilangan bulat positif n.