Buktikan sifat-sifat barisan Fibonacci berikut:

Sifat barisan Fibonacci tersebut terbukti benar menggunakan metode induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan sifat-sifat barisan Fibonacci: F₁² + F₂² + F₃² + ... + F<0xE2><0x82><0x99>² = F<0xE2><0x82><0x99>F<0xE2><0x82><0x99>₊₁, untuk semua n bilangan asli, kita dapat menggunakan induksi matematika.

Barisan Fibonacci didefinisikan sebagai F₀ = 0, F₁ = 1, dan F<0xE2><0x82><0x99> = F<0xE2><0x82><0x99>₋₁ + F<0xE2><0x82><0x99>₋₂ untuk n ≥ 2.
Suku-suku awal: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...

Langkah 1: Basis Induksi (Buktikan untuk n = 1)
Sisi kiri: F₁² = 1² = 1
Sisi kanan: F₁F₂ = 1 * 1 = 1
Karena sisi kiri = sisi kanan, pernyataan tersebut benar untuk n = 1.

Langkah 2: Langkah Induksi
Asumsikan pernyataan benar untuk n = k, yaitu:
F₁² + F₂² + F₃² + ... + F<0xE2><0x82><0x96>² = F<0xE2><0x82><0x96>F<0xE2><0x82><0x96>₊₁   (Hipotesis Induksi)

Buktikan pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1, yaitu:
F₁² + F₂² + F₃² + ... + F<0xE2><0x82><0x96>² + F<0xE2><0x82><0x96>₊₁² = F<0xE2><0x82><0x96>₊₁F<0xE2><0x82><0x96>₊₂

Ambil sisi kiri dari pernyataan untuk n = k + 1:
(F₁² + F₂² + ... + F<0xE2><0x82><0x96>²) + F<0xE2><0x82><0x96>₊₁²

Gunakan Hipotesis Induksi untuk mengganti bagian dalam kurung:
= (F<0xE2><0x82><0x96>F<0xE2><0x82><0x96>₊₁) + F<0xE2><0x82><0x96>₊₁²

Faktorkan F<0xE2><0x82><0x96>₊₁:
= F<0xE2><0x82><0x96>₊₁ (F<0xE2><0x82><0x96> + F<0xE2><0x82><0x96>₊₁)

Dari definisi barisan Fibonacci, kita tahu bahwa F<0xE2><0x82><0x96> + F<0xE2><0x82><0x96>₊₁ = F<0xE2><0x82><0x96>₊₂.
Ganti (F<0xE2><0x82><0x96> + F<0xE2><0x82><0x96>₊₁) dengan F<0xE2><0x82><0x96>₊₂:
= F<0xE2><0x82><0x96>₊₁F<0xE2><0x82><0x96>₊₂

Ini adalah sisi kanan dari pernyataan untuk n = k + 1.

Kesimpulan:
Karena pernyataan benar untuk n = 1 dan jika benar untuk n = k maka benar untuk n = k + 1, maka berdasarkan prinsip induksi matematika, sifat F₁² + F₂² + F₃² + ... + F<0xE2><0x82><0x99>² = F<0xE2><0x82><0x99>F<0xE2><0x82><0x99>₊₁ berlaku untuk semua n bilangan asli.