Tentukan nilai a agar limit x -> a (x^3 + (3 - a)x - 3a)/(x

$a=0$ atau $a=1$

Pembahasan

Agar nilai limit $\lim_{x \to a} \frac{x^3 + (3 - a)x - 3a}{x - a}$ ada dan berhingga, maka substitusi $x=a$ pada pembilang harus menghasilkan 0, sehingga bentuknya menjadi $\frac{0}{0}$ (bentuk tak tentu).

Substitusikan $x=a$ ke dalam pembilang:
$a^3 + (3 - a)a - 3a = 0$
$a^3 + 3a - a^2 - 3a = 0$
$a^3 - a^2 = 0$
$a^2(a - 1) = 0$

Dari persamaan ini, kita dapatkan $a^2 = 0$ atau $a - 1 = 0$.
Jadi, $a = 0$ atau $a = 1$.

Selanjutnya, kita perlu memastikan bahwa limit tersebut berhingga. Kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital atau faktorisasi.

Metode Faktorisasi:
Jika $a=0$, pembilangnya menjadi $x^3 + 3x$. Limitnya adalah $\lim_{x \to 0} \frac{x^3 + 3x}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x(x^2 + 3)}{x} = \lim_{x \to 0} (x^2 + 3) = 0^2 + 3 = 3$. Nilai ini berhingga.

Jika $a=1$, pembilangnya menjadi $x^3 + (3-1)x - 3(1) = x^3 + 2x - 3$. Kita tahu bahwa $x=1$ adalah akar dari pembilang. Kita bisa memfaktorkan $(x-1)$. Menggunakan pembagian polinomial atau sintetik:
$(x^3 + 0x^2 + 2x - 3) \div (x - 1) = x^2 + x + 3$.
Jadi, limitnya adalah $\lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x^2 + x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x^2 + x + 3) = 1^2 + 1 + 3 = 1 + 1 + 3 = 5$. Nilai ini juga berhingga.

Jadi, nilai $a$ agar limit tersebut ada dan berhingga adalah $a=0$ atau $a=1$.