Buktikan. sigma k=1 n (5k-3)^2=25 sigma k=1 n k^2-30 sigma

Identitas terbukti dengan mengembangkan kuadrat binomial dan menggunakan sifat linearitas sigma.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas sigma k=1 n (5k-3)^2 = 25 sigma k=1 n k^2 - 30 sigma k=1 n k + 9n, kita akan memulai dari sisi kiri persamaan dan menyederhanakannya hingga sama dengan sisi kanan.

Sisi Kiri: \(\sum_{k=1}^{n} (5k-3)^2\)

Kita perluas kuadrat binomial \((5k-3)^2\):
\((5k-3)^2 = (5k)^2 - 2(5k)(3) + 3^2 = 25k^2 - 30k + 9\)

Sekarang kita substitusikan kembali ke dalam sigma:
\(\sum_{k=1}^{n} (25k^2 - 30k + 9)\)

Kita dapat memisahkan sigma ini menjadi tiga bagian berdasarkan sifat linearitas sigma:
\(\sum_{k=1}^{n} 25k^2 - \sum_{k=1}^{n} 30k + \sum_{k=1}^{n} 9\)

Kita bisa mengeluarkan konstanta dari sigma:
25 \(\sum_{k=1}^{n} k^2\) - 30 \(\sum_{k=1}^{n} k\) + \(\sum_{k=1}^{n} 9\)

Sekarang, kita perlu mengevaluasi \(\sum_{k=1}^{n} 9\). Ini adalah penjumlahan konstanta 9 sebanyak n kali, sehingga hasilnya adalah 9n.

Jadi, persamaan menjadi:
25 \(\sum_{k=1}^{n} k^2\) - 30 \(\sum_{k=1}^{n} k\) + 9n

Ini persis sama dengan sisi kanan persamaan yang diberikan.

Oleh karena itu, identitas \(\sum_{k=1}^{n} (5k-3)^2 = 25 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 30 \sum_{k=1}^{n} k + 9n\) telah terbukti.