Buktikan. tan 2x (cos x+cos 3x)=sin x+sin 3x

Identitas terbukti dengan mengubah kedua sisi menjadi 4 sin x cos^2 x.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas tan 2x (cos x + cos 3x) = sin x + sin 3x, kita dapat memulai dari sisi kiri:
tan 2x (cos x + cos 3x)
= (sin 2x / cos 2x) (cos x + cos 3x)
Gunakan rumus jumlah cosinus: cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)
= (sin 2x / cos 2x) (2 cos((x+3x)/2) cos((x-3x)/2))
= (sin 2x / cos 2x) (2 cos(2x) cos(-x))
Karena cos(-x) = cos x:
= (sin 2x / cos 2x) (2 cos(2x) cos x)
= 2 sin 2x cos x
Sekarang, gunakan rumus sinus sudut ganda: sin 2A = 2 sin A cos A
= 2 (2 sin x cos x) cos x
= 4 sin x cos^2 x

Mari kita coba dari sisi kanan:
sin x + sin 3x
Gunakan rumus jumlah sinus: sin A + sin B = 2 sin((A+B)/2) cos((A-B)/2)
= 2 sin((x+3x)/2) cos((x-3x)/2)
= 2 sin(2x) cos(-x)
= 2 sin(2x) cos x

Sepertinya ada kesalahan dalam soal atau dalam penjabaran saya. Mari kita periksa kembali.

Identitas yang benar adalah:
tan 2x (cos x + cos 3x) = sin 2x (cos x + cos 3x) / cos 2x
= (2 sin x cos x) (2 cos 2x cos x) / cos 2x
= 4 sin x cos^2 x

Sisi kanan:
sin x + sin 3x = 2 sin 2x cos x = 2 (2 sin x cos x) cos x = 4 sin x cos^2 x

Jadi, identitasnya terbukti benar dengan penjabaran di atas.