Sudut theta di kuadran pertama yang memenuhi persamaan

15° atau 75°

Pembahasan

Kita perlu mencari sudut theta di kuadran pertama yang memenuhi persamaan: 1 + sin(2θ) = 2cos^2(2θ).

Kita dapat menggunakan identitas trigonometri untuk menyederhanakan persamaan ini.
Ingat identitas: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1, sehingga 2cos^2(x) = cos(2x) + 1.
Gunakan identitas ini dengan mengganti x dengan 2θ: 2cos^2(2θ) = cos(4θ) + 1.

Substitusikan ini ke dalam persamaan awal:
1 + sin(2θ) = cos(4θ) + 1

Kurangi kedua sisi dengan 1:
sin(2θ) = cos(4θ)

Sekarang kita perlu menyamakan argumen dari fungsi sinus dan kosinus. Kita bisa menggunakan identitas: cos(x) = sin(90° - x) atau cos(x) = sin(90° + x).
Mari kita gunakan cos(4θ) = sin(90° - 4θ).

Jadi, persamaan menjadi:
sin(2θ) = sin(90° - 4θ)

Ini berarti:
2θ = 90° - 4θ + k * 360°  atau  2θ = 180° - (90° - 4θ) + k * 360°

Kasus 1:
2θ = 90° - 4θ + k * 360°
Tambahkan 4θ ke kedua sisi:
6θ = 90° + k * 360°
Bagi kedua sisi dengan 6:
θ = 15° + k * 60°

Untuk k=0, θ = 15° (di kuadran pertama).
Untuk k=1, θ = 15° + 60° = 75° (di kuadran pertama).
Untuk k=2, θ = 15° + 120° = 135° (di kuadran kedua).
Untuk k=3, θ = 15° + 180° = 195° (di kuadran ketiga).

Kasus 2:
2θ = 180° - (90° - 4θ) + k * 360°
2θ = 180° - 90° + 4θ + k * 360°
2θ = 90° + 4θ + k * 360°
Kurangi 4θ dari kedua sisi:
-2θ = 90° + k * 360°
Bagi kedua sisi dengan -2:
θ = -45° - k * 180°

Karena kita mencari sudut di kuadran pertama, mari kita cek nilai k yang sesuai.
Jika k = -1, θ = -45° - (-1) * 180° = -45° + 180° = 135° (di kuadran kedua).
Jika k = -2, θ = -45° - (-2) * 180° = -45° + 360° = 315° (di kuadran keempat).

Mari kita kembali ke persamaan sin(2θ) = cos(4θ) dan gunakan identitas cos(x) = sin(x + 90°).
cos(4θ) = sin(4θ + 90°)

Maka:
sin(2θ) = sin(4θ + 90°)

Ini berarti:
2θ = 4θ + 90° + k * 360°  atau  2θ = 180° - (4θ + 90°) + k * 360°

Kasus 1:
2θ = 4θ + 90° + k * 360°
-2θ = 90° + k * 360°
θ = -45° - k * 180°

Untuk k=-1, θ = -45° - (-1)*180° = -45° + 180° = 135°.
Untuk k=-2, θ = -45° - (-2)*180° = -45° + 360° = 315°.

Kasus 2:
2θ = 180° - (4θ + 90°) + k * 360°
2θ = 180° - 4θ - 90° + k * 360°
2θ = 90° - 4θ + k * 360°
6θ = 90° + k * 360°
θ = 15° + k * 60°

Untuk k=0, θ = 15°.
Untuk k=1, θ = 75°.
Untuk k=2, θ = 135°.

Kita mencari sudut theta di kuadran pertama. Dari hasil di atas, sudut-sudut di kuadran pertama adalah 15° dan 75°.

Mari kita periksa kedua solusi tersebut di persamaan awal:
1 + sin(2θ) = 2cos^2(2θ)

Jika θ = 15°:
2θ = 30°
sin(30°) = 1/2
cos(30°) = √3/2
2cos^2(30°) = 2 * (√3/2)^2 = 2 * (3/4) = 3/2
1 + sin(30°) = 1 + 1/2 = 3/2
Jadi, 3/2 = 3/2. θ = 15° adalah solusi yang benar.

Jika θ = 75°:
2θ = 150°
sin(150°) = sin(180° - 30°) = sin(30°) = 1/2
cos(150°) = cos(180° - 30°) = -cos(30°) = -√3/2
2cos^2(150°) = 2 * (-√3/2)^2 = 2 * (3/4) = 3/2
1 + sin(150°) = 1 + 1/2 = 3/2
Jadi, 3/2 = 3/2. θ = 75° juga adalah solusi yang benar.

Soal meminta "Sudut theta di kuadran pertama". Ada dua sudut yang memenuhi yaitu 15° dan 75°.
Namun, seringkali dalam soal seperti ini hanya ada satu jawaban yang diharapkan atau ada konteks tambahan.

Mari kita coba pendekatan lain: Gunakan identitas 1 + sin(2θ) = 2cos^2(2θ). 
Gunakan identitas 1 = sin^2(x) + cos^2(x).
cos^2(2θ) = 1 - sin^2(2θ).

Persamaan menjadi:
1 + sin(2θ) = 2(1 - sin^2(2θ))
1 + sin(2θ) = 2 - 2sin^2(2θ)
Pindahkan semua ke satu sisi:
2sin^2(2θ) + sin(2θ) - 1 = 0

Misalkan y = sin(2θ).
Maka persamaan menjadi:
2y^2 + y - 1 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat ini:
(2y - 1)(y + 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan:
2y - 1 = 0  =>  y = 1/2
y + 1 = 0  =>  y = -1

Jadi, sin(2θ) = 1/2  atau  sin(2θ) = -1.

Kasus 1: sin(2θ) = 1/2
Karena θ di kuadran pertama, maka 0° < θ < 90°, sehingga 0° < 2θ < 180°.
Sudut di mana sinus bernilai 1/2 dalam rentang 0° hingga 180° adalah 30° dan 150°.
2θ = 30°  =>  θ = 15° (di kuadran pertama)
2θ = 150° =>  θ = 75° (di kuadran pertama)

Kasus 2: sin(2θ) = -1
Sudut di mana sinus bernilai -1 adalah 270°.
2θ = 270° + k * 360°
θ = 135° + k * 180°

Jika k=0, θ = 135° (di kuadran kedua).
Jika k=-1, θ = 135° - 180° = -45° (tidak di kuadran pertama).

Jadi, sudut-sudut di kuadran pertama yang memenuhi adalah 15° dan 75°.

Jika soal mengharapkan satu jawaban spesifik, mungkin ada konteks tambahan atau kesalahan dalam soal. Namun, berdasarkan perhitungan, kedua nilai tersebut valid.

Mari kita coba cek kembali identitas yang digunakan: 1+sin(2θ) = 2cos^2(2θ).

Salah satu identitas yang sering digunakan adalah: cos(2x) = 2cos^2(x) - 1. 
Maka, 2cos^2(x) = cos(2x) + 1.
Ganti x dengan 2θ: 2cos^2(2θ) = cos(4θ) + 1.

Maka persamaan menjadi: 1 + sin(2θ) = cos(4θ) + 1.
sin(2θ) = cos(4θ).

Gunakan identitas cos(A) = sin(90 - A) atau sin(A) = cos(90 - A).
cos(4θ) = sin(90 - 4θ).

Maka, sin(2θ) = sin(90 - 4θ).

2θ = 90 - 4θ + 360k  atau  2θ = 180 - (90 - 4θ) + 360k

Dari kasus pertama:
6θ = 90 + 360k
θ = 15 + 60k
Untuk k=0, θ = 15°.
Untuk k=1, θ = 75°.

Dari kasus kedua:
2θ = 180 - 90 + 4θ + 360k
2θ = 90 + 4θ + 360k
-2θ = 90 + 360k
θ = -45 - 180k
Untuk k=-1, θ = -45 + 180 = 135°.

Jadi sudut di kuadran pertama adalah 15° dan 75°.

Karena soal hanya meminta "Sudut theta", dan biasanya ada satu jawaban spesifik, mari kita periksa apakah ada cara lain untuk menyederhanakan atau jika ada informasi yang terlewat.

Jika kita kembali ke persamaan 2sin^2(2θ) + sin(2θ) - 1 = 0.
Kita mendapatkan sin(2θ) = 1/2 atau sin(2θ) = -1.

Jika sin(2θ) = 1/2, maka 2θ = 30° atau 2θ = 150° (dalam rentang 0° hingga 180°).
Jika 2θ = 30°, maka θ = 15°.
Jika 2θ = 150°, maka θ = 75°.

Jika sin(2θ) = -1, maka 2θ = 270°. Ini memberikan θ = 135°, yang berada di kuadran kedua.

Maka, kedua sudut di kuadran pertama yang memenuhi adalah 15° dan 75°.

Dalam konteks ujian, jika hanya satu pilihan yang tersedia, maka salah satu dari 15° atau 75° akan menjadi jawaban yang benar. Tanpa pilihan ganda, kita berikan kedua solusi yang valid.

Jika soal ini berasal dari buku teks atau sumber tertentu, seringkali ada satu jawaban yang