Pada gambar berikut lingkaran dengan pusat di M dan N

8 cm

Pembahasan

Dalam soal ini, kita diberikan dua lingkaran yang bersinggungan di luar, dengan PQ sebagai garis singgung persekutuan luar. Diketahui:
- PQ = 24 cm (panjang garis singgung persekutuan luar)
- PM = 18 cm (jari-jari lingkaran pertama, karena M adalah pusat dan P titik singgung)
Ditanya: QN (jari-jari lingkaran kedua, karena N adalah pusat dan Q titik singgung)

Untuk menyelesaikan soal ini, kita dapat menggunakan teorema garis singgung persekutuan luar. Rumusnya adalah:
(PQ)^2 = (MN)^2 - (r1 - r2)^2
Namun, PQMN membentuk sebuah trapesium siku-siku jika kita menarik garis dari N sejajar PQ hingga memotong PM (atau perpanjangannya). Mari kita gunakan pendekatan yang lebih umum.

Buatlah garis dari N sejajar dengan PQ, dan misalkan garis ini memotong PM di titik R. Maka, PQNR adalah sebuah persegi panjang, sehingga:
NR = PQ = 24 cm
PN = QR

Perhatikan segitiga siku-siku MNR. Sisi-sisinya adalah:
MN = MR + RN. Atau MR = PM - PN
MR = PM - RN (karena PN = RN)
MR = 18 - QN (karena PM = r1 = 18 dan RN = PN = r2 = QN)

Dalam segitiga siku-siku MNR, berlaku teorema Pythagoras:
(MN)^2 = (MR)^2 + (NR)^2

Kita juga tahu bahwa jarak antara kedua pusat lingkaran adalah MN. Dan jika kita membuat garis sejajar PQ dari N ke PM, maka kita membentuk sebuah segitiga siku-siku dengan sisi-sisi:

Sisi tegak: Perbedaan jari-jari (r1 - r2)
Sisi alas: Panjang garis singgung persekutuan luar (PQ)
Sisi miring: Jarak antara kedua pusat (MN)

Namun, dalam soal ini, kita perlu lebih berhati-hati dalam menginterpretasikan gambar PQMN. PQ adalah garis singgung persekutuan luar. P pada lingkaran M, Q pada lingkaran N. PM adalah jari-jari lingkaran M, QN adalah jari-jari lingkaran N.

Misalkan r1 = PM = 18 cm.
Misalkan r2 = QN.
Panjang garis singgung persekutuan luar PQ = 24 cm.

Kita dapat membentuk sebuah segitiga siku-siku dengan menarik garis dari N sejajar PQ hingga memotong garis PM di titik R. Maka, NR = PQ = 24 cm. Dan PN = QR.

Perhatikan segitiga siku-siku di M. Garis PM tegak lurus PQ. Garis QN tegak lurus PQ.

Kita bisa membentuk sebuah trapesium siku-siku PQNM. Jika kita tarik garis dari N sejajar PQ sehingga memotong PM di R, maka PQNR adalah persegi panjang. Sehingga NR = PQ = 24 cm dan PR = NQ = r2.

Perhatikan segitiga siku-siku di R (segitiga MNR).
Sisi MR = PM - PR = r1 - r2 = 18 - r2.
Sisi NR = 24 cm.
Sisi miring MN = jarak antara pusat M dan N.

Karena kedua lingkaran bersinggungan, jarak antara kedua pusat adalah jumlah jari-jari mereka:
MN = r1 + r2 = 18 + r2.

Sekarang kita terapkan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku MNR:
(MN)^2 = (MR)^2 + (NR)^2
(18 + r2)^2 = (18 - r2)^2 + (24)^2

Mari kita ekspansi kedua sisi:
(18^2 + 2 * 18 * r2 + r2^2) = (18^2 - 2 * 18 * r2 + r2^2) + 576
324 + 36*r2 + r2^2 = 324 - 36*r2 + r2^2 + 576

Kita bisa membatalkan suku yang sama di kedua sisi:
r2^2 dan 324.
36*r2 = -36*r2 + 576

Pindahkan -36*r2 ke sisi kiri:
36*r2 + 36*r2 = 576
72*r2 = 576

Sekarang, bagi kedua sisi dengan 72 untuk menemukan r2:
r2 = 576 / 72

Untuk mempermudah pembagian, kita bisa menyederhanakannya:
576 / 72 = (8 * 72) / 72 = 8
Atau coba bagi dengan 12:
576 / 12 = 48
72 / 12 = 6
Jadi, 48 / 6 = 8.

Maka, r2 = 8 cm.
Karena QN adalah jari-jari lingkaran kedua, maka QN = 8 cm.