Buktikan untuk masing-masing bilangan asli n>=5 akan

Terbukti dengan induksi matematika.

Pembahasan

Untuk membuktikan ketidaksamaan 2n - 3 < 2^(n-2) untuk setiap bilangan asli n >= 5, kita dapat menggunakan induksi matematika.

Langkah 1: Basis Induksi
Untuk n = 5, kita periksa apakah ketidaksamaan berlaku:
2(5) - 3 = 10 - 3 = 7
2^(5-2) = 2^3 = 8
Karena 7 < 8, ketidaksamaan berlaku untuk n = 5.

Langkah 2: Hipotesis Induksi
Asumsikan ketidaksamaan berlaku untuk suatu bilangan asli k >= 5, yaitu 2k - 3 < 2^(k-2).

Langkah 3: Langkah Induksi
Kita perlu membuktikan bahwa ketidaksamaan berlaku untuk n = k + 1, yaitu 2(k+1) - 3 < 2^((k+1)-2).

Dari hipotesis induksi, kita tahu bahwa 2k - 3 < 2^(k-2).
Sekarang, kita tinjau sisi kiri ketidaksamaan untuk n = k + 1:
2(k+1) - 3 = 2k + 2 - 3 = 2k - 1

Kita ingin menunjukkan bahwa 2k - 1 < 2^((k+1)-2) = 2^(k-1).

Perhatikan bahwa:
2k - 1 = (2k - 3) + 2
Karena 2k - 3 < 2^(k-2) (dari hipotesis induksi), maka:
2k - 1 < 2^(k-2) + 2

Sekarang kita perlu menunjukkan bahwa 2^(k-2) + 2 <= 2^(k-1).
Ini setara dengan menunjukkan bahwa 2 <= 2^(k-1) - 2^(k-2).
2 <= 2^(k-2) * (2 - 1)
2 <= 2^(k-2)

Karena kita mengasumsikan n >= 5, maka k >= 5. Jika k = 5, 2^(5-2) = 2^3 = 8. Jika k > 5, nilai 2^(k-2) akan semakin besar.
Jadi, 2 <= 2^(k-2) memang benar untuk k >= 5.

Karena 2k - 1 < 2^(k-2) + 2 dan 2^(k-2) + 2 <= 2^(k-1), maka dapat disimpulkan bahwa 2k - 1 < 2^(k-1).

Dengan demikian, ketidaksamaan 2n - 3 < 2^(n-2) terbukti berlaku untuk setiap bilangan asli n >= 5.