Cari himpunan penyelesaian tiap-tiap sistem persamaan

Tak hingga banyaknya solusi, dengan x = 5y / (13y - 7), y ≠ 0, y ≠ 7/13.

Pembahasan

Soal ini meminta untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan bentuk pecahan.
Sistem Persamaan:
1) 5/x + 7/y = 13
2) 10/x + 14/y = 26

Untuk mempermudah, kita bisa substitusi variabel:
Misalkan a = 1/x dan b = 1/y

Maka sistem persamaannya menjadi:
1) 5a + 7b = 13
2) 10a + 14b = 26

Sekarang kita bisa selesaikan sistem persamaan linear ini. Perhatikan persamaan (2), jika kita bagi kedua ruas dengan 2, kita akan mendapatkan:
(10a + 14b) / 2 = 26 / 2
5a + 7b = 13

Hasilnya sama persis dengan persamaan (1). Ini berarti kedua persamaan tersebut adalah persamaan yang ekuivalen atau dependen. Artinya, ada tak hingga banyaknya solusi untuk a dan b yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Karena ada tak hingga banyaknya solusi untuk a dan b, maka akan ada tak hingga banyaknya solusi untuk x dan y.

Kita bisa menyatakan solusi dalam bentuk parameter. Dari persamaan 5a + 7b = 13:
5a = 13 - 7b
a = (13 - 7b) / 5

Substitusikan kembali a = 1/x dan b = 1/y:
1/x = (13 - 7(1/y)) / 5
1/x = (13 - 7/y) / 5
1/x = ((13y - 7) / y) / 5
1/x = (13y - 7) / 5y
x = 5y / (13y - 7)

Himpunan penyelesaiannya adalah pasangan (x, y) sedemikian sehingga x = 5y / (13y - 7), di mana y ≠ 0 dan 13y - 7 ≠ 0 (atau y ≠ 7/13). 

Atau, kita bisa menyatakan dalam bentuk lain. Misalnya, jika kita pilih nilai untuk y (yang bukan 0 atau 7/13), kita bisa menemukan nilai x yang sesuai.
Contoh:
Jika y = 1, maka x = 5(1) / (13(1) - 7) = 5 / (13 - 7) = 5/6.
Cek: 5/(5/6) + 7/1 = 6 + 7 = 13 (Benar). 10/(5/6) + 14/1 = 12 + 14 = 26 (Benar).

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(x, y) | x = 5y / (13y - 7), y ∈ R, y ≠ 0, y ≠ 7/13}.