Carilah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

Himpunan penyelesaiannya adalah $(1, -2, 4)$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan tiga variabel:
1) $\frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{4}{z} = 1$
2) $-\frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{12}{z} = 0$
3) $\frac{2}{x} + \frac{8}{y} + \frac{4}{z} = -1$

Kita dapat menggunakan substitusi $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$, dan $c = \frac{1}{z}$. Sistem persamaan menjadi:
1) $a + 2b + 4c = 1$
2) $-a + 4b + 12c = 0$
3) $2a + 8b + 4c = -1$

Langkah 1: Eliminasi variabel $a$ dari persamaan (1) dan (2).
Tambahkan persamaan (1) dan (2):
$(a + 2b + 4c) + (-a + 4b + 12c) = 1 + 0$
$6b + 16c = 1$ (Persamaan 4)

Langkah 2: Eliminasi variabel $a$ dari persamaan (1) dan (3).
Kalikan persamaan (1) dengan 2:
$2(a + 2b + 4c) = 2(1) 
ightarrow 2a + 4b + 8c = 2$
Kurangkan hasil ini dari persamaan (3):
$(2a + 8b + 4c) - (2a + 4b + 8c) = -1 - 2$
$4b - 4c = -3$ (Persamaan 5)

Langkah 3: Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel dari Persamaan (4) dan (5).
4) $6b + 16c = 1$
5) $4b - 4c = -3$

Kalikan Persamaan (5) dengan 4:
$4(4b - 4c) = 4(-3) 
ightarrow 16b - 16c = -12$
Tambahkan hasil ini dengan Persamaan (4):
$(6b + 16c) + (16b - 16c) = 1 + (-12)$
$22b = -11$
$b = -\frac{11}{22} = -0.5$

Substitusikan nilai $b$ ke Persamaan (5):
$4(-0.5) - 4c = -3$
$-2 - 4c = -3$
$-4c = -1$
$c = \frac{-1}{-4} = 0.25$

Langkah 4: Substitusikan nilai $b$ dan $c$ ke Persamaan (1).
$a + 2b + 4c = 1$
$a + 2(-0.5) + 4(0.25) = 1$
$a - 1 + 1 = 1$
$a = 1$

Langkah 5: Cari nilai $x$, $y$, dan $z$ menggunakan substitusi awal.
$a = \frac{1}{x} 
ightarrow 1 = \frac{1}{x} 
ightarrow x = 1$
$b = \frac{1}{y} 
ightarrow -0.5 = \frac{1}{y} 
ightarrow y = -2$
$c = \frac{1}{z} 
ightarrow 0.25 = \frac{1}{z} 
ightarrow z = 4$

Himpunan penyelesaiannya adalah $(x, y, z) = (1, -2, 4)$.