Carilah integral x^2 akar(x-1) dx menggunakan dua cara

\(\frac{2}{7} (x-1)^{7/2} + \frac{4}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C\)

Pembahasan

Untuk mencari integral dari \(\int x^2 \sqrt{x-1} dx\) menggunakan dua metode substitusi:

Metode (i): Mengambil substitusi u = x - 1

Langkah 1: Ekspresikan x dalam bentuk u.
Dari u = x - 1, maka x = u + 1.

Langkah 2: Cari diferensial du.
Jika u = x - 1, maka du/dx = 1, sehingga du = dx.

Langkah 3: Substitusikan x dan dx dalam integral.
Integral menjadi: \(\int (u+1)^2 \sqrt{u} du\)

Langkah 4: Ekspand dan integralkan.
\(\int (u^2 + 2u + 1) u^{1/2} du\)
\(= \int (u^{2 + 1/2} + 2u^{1 + 1/2} + u^{1/2}) du\)
\(= \int (u^{5/2} + 2u^{3/2} + u^{1/2}) du\)

Sekarang, integralkan masing-masing suku:
\(= \frac{u^{5/2 + 1}}{5/2 + 1} + 2 \frac{u^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + \frac{u^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C\)
\(= \frac{u^{7/2}}{7/2} + 2 \frac{u^{5/2}}{5/2} + \frac{u^{3/2}}{3/2} + C\)
\(= \frac{2}{7} u^{7/2} + 2 \cdot \frac{2}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} + C\)
\(= \frac{2}{7} u^{7/2} + \frac{4}{5} u^{5/2} + \frac{2}{3} u^{3/2} + C\)

Langkah 5: Substitusikan kembali u = x - 1.
\(= \frac{2}{7} (x-1)^{7/2} + \frac{4}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C\)

Metode (ii): Mengambil substitusi v = \(\sqrt{x-1}\)

Langkah 1: Ekspresikan x dalam bentuk v.
Jika v = \(\sqrt{x-1}\), maka kuadratkan kedua sisi: \(v^2 = x-1\).
Dari sini, x = \(v^2 + 1\).

Langkah 2: Cari diferensial dx dalam bentuk dv.
Turunkan x terhadap v: dx/dv = 2v. Maka, dx = 2v dv.

Langkah 3: Substitusikan x, \(\sqrt{x-1}\), dan dx dalam integral.
Integral menjadi: \(\int (v^2 + 1)^2 \cdot v \cdot (2v dv)\)
\(= \int (v^4 + 2v^2 + 1) \cdot 2v^2 dv\)

Langkah 4: Ekspand dan integralkan.
\(= \int 2v^2 (v^4 + 2v^2 + 1) dv\)
\(= \int (2v^6 + 4v^4 + 2v^2) dv\)

Sekarang, integralkan masing-masing suku:
\(= 2 \frac{v^{6+1}}{6+1} + 4 \frac{v^{4+1}}{4+1} + 2 \frac{v^{2+1}}{2+1} + C\)
\(= 2 \frac{v^7}{7} + 4 \frac{v^5}{5} + 2 \frac{v^3}{3} + C\)
\(= \frac{2}{7} v^7 + \frac{4}{5} v^5 + \frac{2}{3} v^3 + C\)

Langkah 5: Substitusikan kembali v = \(\sqrt{x-1}\).
Ingat bahwa \(v^n = (\sqrt{x-1})^n = (x-1)^{n/2}\).
\(= \frac{2}{7} (x-1)^{7/2} + \frac{4}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C\)

Kedua metode memberikan hasil yang sama, yaitu:\(\frac{2}{7} (x-1)^{7/2} + \frac{4}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C\)