Carilah nilai limit-limit berikut ini! lim x mendekati tak

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk mencari nilai dari \(\lim_{x \to \infty} (x \sin \frac{2}{x})\), kita dapat menggunakan substitusi atau sifat limit.

Metode 1: Menggunakan Substitusi
Misalkan \(y = \frac{2}{x}\). Ketika \(x \to \infty\), maka \(y \to 0\). Dari substitusi ini, kita juga dapat menulis \(x = \frac{2}{y}\).

Sekarang, substitusikan ke dalam limit:
\(\lim_{y \to 0} (\frac{2}{y} \sin y)\)

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:
\(2 \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}\)

Kita tahu bahwa \(\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1\).

Jadi, nilainya adalah \(2 \times 1 = 2\).

Metode 2: Menggunakan Sifat Limit Trigonometri
Kita dapat mengatur ulang ekspresi agar sesuai dengan bentuk \(\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1\).

\(\lim_{x \to \infty} (x \sin \frac{2}{x})\)

Kalikan dan bagi dengan \(\frac{2}{x}\) untuk mendapatkan bentuk \(\frac{\sin \theta}{\theta}\), di mana \(\theta = \frac{2}{x}\).

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin \frac{2}{x}}{\frac{2}{x}} \times \frac{2}{x} \times x\)

Ini menyederhanakan menjadi:

\(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin \frac{2}{x}}{\frac{2}{x}} \times 2\)

Karena ketika \(x \to \infty\), \(\frac{2}{x} \to 0\), kita dapat menerapkan limit:

\((\lim_{\frac{2}{x} \to 0} \frac{\sin \frac{2}{x}}{\frac{2}{x}})\) \(\times 2\)

\(1 \times 2 = 2\)

Jadi, nilai limitnya adalah 2.