Hitunglah nilai eksak dari trigonometri berikut: Jangan

(10 + 5√3)/4

Pembahasan

Untuk menghitung nilai eksak dari 5 sin 105° cos 15° tanpa kalkulator atau tabel, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.
Kita tahu bahwa sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B dan sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B.
Jumlahkan kedua identitas tersebut: sin(A + B) + sin(A - B) = 2 sin A cos B.
Ini dapat ditulis ulang sebagai: sin A cos B = 1/2 [sin(A + B) + sin(A - B)].
Dalam soal ini, kita memiliki 5 sin 105° cos 15°.
Kita dapat menganggap A = 105° dan B = 15°.
Maka, sin 105° cos 15° = 1/2 [sin(105° + 15°) + sin(105° - 15°)]
= 1/2 [sin(120°) + sin(90°)]
Kita tahu nilai sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3/2.
Dan sin(90°) = 1.
Jadi, sin 105° cos 15° = 1/2 [√3/2 + 1] = 1/2 [(√3 + 2)/2] = (√3 + 2)/4.
Sekarang, kalikan dengan 5:
5 sin 105° cos 15° = 5 * [(√3 + 2)/4] = (5√3 + 10)/4.