Carilah nilai maksimum dan minimum dari fungsi berikut dan

Nilai maksimum adalah $\sqrt{2}$ pada $x = \frac{\pi}{4}$, dan nilai minimum adalah $-\sqrt{2}$ pada $x = \frac{5\pi}{4}$.

Pembahasan

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari fungsi $f(x) = \cos x + \sin x$, kita dapat menggunakan turunan. Pertama, cari turunan pertama $f'(x) = -\sin x + \cos x$. Atur $f'(x) = 0$ untuk mencari titik kritis: $-\sin x + \cos x = 0$, yang berarti $\cos x = \sin x$, atau $\tan x = 1$. Solusinya adalah $x = \frac{\pi}{4} + n\pi$. 

Selanjutnya, cari turunan kedua $f''(x) = -\cos x - \sin x$. Evaluasi $f''(x)$ pada titik kritis:
Untuk $x = \frac{\pi}{4}$, $f''(\frac{\pi}{4}) = -\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} < 0$. Ini menunjukkan nilai maksimum.
Nilai maksimumnya adalah $f(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.

Untuk $x = \frac{5\pi}{4}$, $f''(\frac{5\pi}{4}) = -\cos \frac{5\pi}{4} - \sin \frac{5\pi}{4} = -(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} > 0$. Ini menunjukkan nilai minimum.
Nilai minimumnya adalah $f(\frac{5\pi}{4}) = \cos \frac{5\pi}{4} + \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$.

Jadi, nilai maksimumnya adalah $\sqrt{2}$ pada $x = \frac{\pi}{4}$, dan nilai minimumnya adalah $-\sqrt{2}$ pada $x = \frac{5\pi}{4}$.