Lingkaran dengan persamaan x^2+y^2-2ax+b=0, a>0 dan

a = 2√2

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah x^2+y^2-2ax+b=0. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2, di mana (h,k) adalah pusat lingkaran dan r adalah jari-jari.
Untuk mengubah persamaan x^2+y^2-2ax+b=0 ke bentuk umum, kita lengkapi kuadratnya:
(x^2 - 2ax) + y^2 = -b
(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 = -b + a^2
(x - a)^2 + y^2 = a^2 - b

Dari bentuk ini, kita dapatkan pusat lingkaran adalah (a,0) dan jari-jari kuadratnya adalah r^2 = a^2 - b.
Diketahui bahwa jari-jari lingkaran adalah 2, sehingga r = 2. Maka, r^2 = 4.
Sehingga, a^2 - b = 4.

Lingkaran menyinggung garis x=y, atau dapat ditulis sebagai x - y = 0.
Jarak dari pusat lingkaran (h,k) ke garis Ax + By + C = 0 adalah d = |Ah + Bk + C| / sqrt(A^2 + B^2).
Dalam kasus ini, pusat lingkaran adalah (a,0) dan garisnya adalah x - y = 0 (A=1, B=-1, C=0).
Karena lingkaran menyinggung garis, jarak dari pusat ke garis sama dengan jari-jari lingkaran, yaitu d = r = 2.

Menggunakan rumus jarak:
d = |1(a) + (-1)(0) + 0| / sqrt(1^2 + (-1)^2)
2 = |a| / sqrt(1 + 1)
2 = |a| / sqrt(2)
2 * sqrt(2) = |a|

Karena diketahui a > 0, maka a = 2 * sqrt(2).
Sekarang kita bisa mencari nilai b jika diperlukan dengan menggunakan a^2 - b = 4:
(2 * sqrt(2))^2 - b = 4
8 - b = 4
b = 4

Namun, pertanyaan hanya meminta nilai a.

Menggunakan informasi bahwa lingkaran menyinggung garis x=y, kita bisa substitusikan x=y ke persamaan lingkaran:
x^2 + x^2 - 2ax + b = 0
2x^2 - 2ax + b = 0

Agar garis menyinggung lingkaran, persamaan kuadrat ini harus memiliki tepat satu solusi (diskriminan = 0).
Diskriminan D = b^2 - 4ac. Dalam persamaan 2x^2 - 2ax + b = 0, a=2, b=-2a, c=b.

D = (-2a)^2 - 4(2)(b) = 0
4a^2 - 8b = 0
a^2 = 2b

Kita juga tahu bahwa jari-jari lingkaran adalah 2, sehingga r^2 = a^2 - b = 4.
Dari a^2 = 2b, kita dapatkan b = a^2 / 2.
Substitusikan b ke persamaan jari-jari:
a^2 - (a^2 / 2) = 4
a^2 / 2 = 4
a^2 = 8
a = sqrt(8) = 2 * sqrt(2).
Karena a > 0, maka a = 2 * sqrt(2).