Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi parabola

6\pi satuan volume

Pembahasan

Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi bila daerah D diputar terhadap sumbu-Y, kita perlu menggunakan metode cakram atau cincin. Daerah D terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh parabola y=x^2, parabola y=4x^2, dan garis y=4. Pertama, kita perlu menyatakan x dalam bentuk y dari kedua persamaan parabola: x = sqrt(y) dan x = sqrt(y/4) = sqrt(y)/2. Karena daerah D dibatasi oleh kedua parabola ini dan garis y=4, kita akan mengintegrasikan terhadap y. Volume benda putar yang diputar terhadap sumbu-Y dihitung dengan rumus V = \int[a, b] \pi (R(y)^2 - r(y)^2) dy, di mana R(y) adalah jari-jari luar dan r(y) adalah jari-jari dalam. Dalam kasus ini, jari-jari luar R(y) = sqrt(y) (dari y=x^2) dan jari-jari dalam r(y) = sqrt(y)/2 (dari y=4x^2). Batas integrasi adalah dari y=0 sampai y=4. Jadi, V = \int[0, 4] \pi ((sqrt(y))^2 - (sqrt(y)/2)^2) dy = \int[0, 4] \pi (y - y/4) dy = \int[0, 4] \pi (3y/4) dy. Melakukan integrasi: V = \pi [3y^2/8] dari 0 sampai 4 = \pi ((3*4^2)/8 - (3*0^2)/8) = \pi (48/8) = 6\pi satuan volume.