Daerah himpunan penyelesaian 3x+y<=6, x+2y>=8, x>=0, y>=0

Tidak ada daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi semua kondisi pertidaksamaan tersebut.

Pembahasan

Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear:
3x + y <= 6
x + 2y >= 8
x >= 0
y >= 0

Langkah 1: Gambarkan garis batas untuk setiap pertidaksamaan.
Garis 1: 3x + y = 6
Jika x=0, y=6. Titik (0, 6)
Jika y=0, 3x=6 -> x=2. Titik (2, 0)

Garis 2: x + 2y = 8
Jika x=0, 2y=8 -> y=4. Titik (0, 4)
Jika y=0, x=8. Titik (8, 0)

Garis 3: x = 0 (sumbu y)
Garis 4: y = 0 (sumbu x)

Langkah 2: Tentukan daerah yang memenuhi setiap pertidaksamaan.
Untuk 3x + y <= 6: Uji titik (0,0). 3(0) + 0 <= 6 -> 0 <= 6 (Benar). Jadi, daerahnya adalah di bawah atau pada garis 3x + y = 6.
Untuk x + 2y >= 8: Uji titik (0,0). 0 + 2(0) >= 8 -> 0 >= 8 (Salah). Jadi, daerahnya adalah di atas atau pada garis x + 2y = 8.
Untuk x >= 0: Daerahnya adalah di sebelah kanan atau pada sumbu y.
Untuk y >= 0: Daerahnya adalah di atas atau pada sumbu x.

Langkah 3: Cari irisan dari semua daerah yang memenuhi.
Kita perlu mencari daerah yang memenuhi keempat kondisi tersebut secara bersamaan. Daerah ini akan dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, garis 3x + y = 6, dan garis x + 2y = 8.

Perhatikan bahwa garis 3x + y = 6 memotong sumbu y di (0, 6) dan sumbu x di (2, 0). 
Garis x + 2y = 8 memotong sumbu y di (0, 4) dan sumbu x di (8, 0).

Karena kita memerlukan x >= 0 dan y >= 0, kita berfokus pada kuadran pertama.
Pertidaksamaan 3x + y <= 6 berarti daerah di bawah garis 3x + y = 6.
Pertidaksamaan x + 2y >= 8 berarti daerah di atas garis x + 2y = 8.

Mari kita cari titik potong kedua garis tersebut:
Dari 3x + y = 6, kita dapatkan y = 6 - 3x.
Substitusikan ke x + 2y = 8:
x + 2(6 - 3x) = 8
x + 12 - 6x = 8
-5x = 8 - 12
-5x = -4
x = 4/5

Substitusikan x = 4/5 ke y = 6 - 3x:
y = 6 - 3(4/5) = 6 - 12/5 = (30 - 12)/5 = 18/5

Titik potongnya adalah (4/5, 18/5).

Sekarang mari kita evaluasi daerahnya:
Kita butuh daerah di kuadran pertama (x>=0, y>=0).
Daerah di bawah 3x + y = 6.
Daerah di atas x + 2y = 8.

Karena garis x + 2y = 8 berada di atas garis 3x + y = 6 di beberapa bagian kuadran pertama (misalnya, titik (0,4) ada di x+2y=8 tetapi di atas 3x+y=6 karena 3(0)+4=4<=6), dan daerah yang diarsir untuk 3x+y<=6 berada di bawah garisnya, sementara daerah yang diarsir untuk x+2y>=8 berada di atas garisnya, maka tidak ada daerah yang memenuhi kedua kondisi ini secara bersamaan di kuadran pertama. 

Secara visual, garis 3x+y=6 melewati titik (2,0) dan (0,6). Daerah 3x+y<=6 adalah di bawah garis ini. Garis x+2y=8 melewati titik (8,0) dan (0,4). Daerah x+2y>=8 adalah di atas garis ini. Karena kedua daerah ini tidak tumpang tindih di kuadran pertama, maka tidak ada daerah himpunan penyelesaian yang memenuhi semua kondisi tersebut.