Kelas 11mathKalkulus
Daerah R dikuadran satu, di batasi oleh grafik y= x^2,
Pertanyaan
Daerah R dikuadran satu, di batasi oleh grafik y= x^2, y=x+2 dan y=0. Integral yang menyatakan luas daerah R adalah ...
Solusi
Verified
Integral yang menyatakan luas daerah R adalah $\int_0^2 (x+2 - x^2) dx$.
Pembahasan
Untuk menyatakan luas daerah R yang dibatasi oleh grafik $y = x^2$, $y = x+2$, dan $y=0$ di kuadran satu, kita perlu menentukan batas-batas integrasi. Pertama, cari titik potong antara $y = x^2$ dan $y = x+2$. $x^2 = x+2 ightarrow x^2 - x - 2 = 0 ightarrow (x-2)(x+1) = 0$. Titik potongnya adalah x=2 dan x=-1. Karena daerah R berada di kuadran satu, kita perhatikan interval $0 otin x otin 2$. Titik potong $y = x^2$ dengan $y=0$ adalah di $x=0$. Titik potong $y = x+2$ dengan $y=0$ adalah di $x=-2$. Dalam kuadran satu, daerah R dibatasi oleh $y=x^2$ dari $x=0$ hingga titik potong $y=x^2$ dan $y=x+2$ yang bernilai $x=2$, dan dibatasi oleh $y=x+2$ dari titik potong $y=x+2$ dengan $y=0$ (yang berada di luar kuadran 1) hingga titik potongnya dengan $y=x^2$ di $x=2$. Namun, soal menyatakan daerah dibatasi $y=0$ juga. Jadi, kita perlu membagi daerah menjadi dua bagian: satu bagian di bawah $y=x^2$ dan di atas $y=0$, dan bagian lain di bawah $y=x+2$ dan di atas $y=0$. Perlu diperjelas batas atas daerah tersebut. Jika daerah dibatasi oleh $y=x^2$, $y=x+2$ dan sumbu x ($y=0$), maka kita perlu mencari titik potong dari ketiga kurva tersebut. Titik potong $y=x^2$ dan $y=x+2$ adalah di $x=2$. Titik potong $y=x^2$ dan $y=0$ adalah di $x=0$. Titik potong $y=x+2$ dan $y=0$ adalah di $x=-2$. Di kuadran satu, daerah dibatasi oleh $y=x^2$ dari $x=0$ hingga $x=2$, dan oleh $y=x+2$ dari $x=0$ hingga $x=2$. Namun, jika $y=0$ juga menjadi batas, maka daerah tersebut adalah daerah di bawah $y=x^2$ dari $x=0$ hingga $x=2$ DAN daerah di bawah $y=x+2$ dari $x=0$ hingga $x=2$. Ini tidak tepat. Mari kita asumsikan bahwa daerah R dibatasi oleh $y=x^2$ dan $y=x+2$ dan sumbu x ($y=0$) dalam kuadran satu. Maka, kita perlu mencari titik potong $y=x^2$ dengan $y=x+2$ yaitu $x=2$. Dan titik potong $y=x^2$ dengan $y=0$ adalah $x=0$. Untuk $y=x+2$ dengan $y=0$ adalah $x=-2$. Di kuadran satu, $x$ bergerak dari 0 hingga 2. Namun, $y=x+2$ lebih tinggi dari $y=x^2$ di rentang tersebut. Jika $y=0$ adalah batas bawah, maka kita perlu memecahnya. Dari $x=0$ sampai titik potong $y=x^2$ dan $y=0$ yaitu $x=0$, luasnya 0. Mari kita asumsikan batasnya adalah $y=x^2$, $y=x+2$ dan sumbu y ($x=0$). Maka luasnya $\int_0^2 (x+2 - x^2) dx$. Jika daerah dibatasi $y=x^2$, $y=x+2$ dan $y=0$. Maka, daerah tersebut dibatasi oleh $y=x^2$ dari $x=0$ sampai $x=\sqrt{y}$ dan oleh $y=x+2$ dari $x=y-2$. Jika kita integralkan terhadap x, maka ada dua bagian: pertama dari $x=0$ hingga titik potong $y=x^2$ dan $y=x+2$. Titik potongnya adalah $x=2$. Namun, $y=x+2$ memotong sumbu x di $x=-2$. Jadi, daerah yang dibatasi $y=x^2$ dan $y=0$ adalah dari $x=0$ sampai $x=2$. Dan daerah yang dibatasi $y=x+2$ dan $y=0$ adalah dari $x=0$ sampai $x=2$ (dalam kuadran 1). Integral yang menyatakan luas daerah R adalah integral dari fungsi yang lebih tinggi dikurangi fungsi yang lebih rendah. Di kuadran satu, antara $x=0$ dan $x=2$, fungsi $y=x+2$ berada di atas $y=x^2$. Dan kedua kurva berada di atas $y=0$. Maka, luasnya adalah $\int_0^2 (x+2 - x^2) dx$.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Integral Tentu
Section: Aplikasi Integral Tentu Untuk Luas Daerah
Apakah jawaban ini membantu?