Tentukan daerah hasil (range) dari setiap fungsi berikut

Daerah hasil dari fungsi h(x) adalah semua bilangan real.

Pembahasan

Untuk menentukan daerah hasil (range) dari fungsi h(x) = x / (x^2 - 9) dengan domain {x|x adalah bilangan real, x ≠ ±3}, kita perlu mencari nilai-nilai y yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut.

Misalkan y = h(x), sehingga y = x / (x^2 - 9).
Kita ingin mencari nilai y sedemikian sehingga persamaan ini memiliki solusi x dalam domain yang diberikan.

Ubah persamaan menjadi bentuk kuadrat dalam x:
y(x^2 - 9) = x
yx^2 - 9y = x
yx^2 - x - 9y = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk ax^2 + bx + c = 0, di mana a = y, b = -1, dan c = -9y.
Agar persamaan kuadrat ini memiliki solusi real untuk x, diskriminannya (D) harus lebih besar dari atau sama dengan nol (D ≥ 0).

D = b^2 - 4ac
D = (-1)^2 - 4(y)(-9y)
D = 1 + 36y^2

Karena 36y^2 selalu non-negatif (≥ 0) untuk setiap nilai real y, maka D = 1 + 36y^2 akan selalu positif (D > 0) untuk setiap nilai real y.
Ini berarti bahwa untuk setiap nilai y yang kita pilih, akan selalu ada solusi real untuk x.

Namun, kita harus mempertimbangkan kasus ketika koefisien a = y adalah nol. Jika y = 0, maka persamaan menjadi:
0*x^2 - x - 9*0 = 0
-x = 0
x = 0

Nilai x = 0 ada dalam domain fungsi (karena 0 ≠ ±3). Jadi, y = 0 adalah bagian dari daerah hasil.

Karena diskriminan selalu positif, ini menunjukkan bahwa fungsi ini dapat menghasilkan setiap nilai y kecuali jika ada pembatasan lain.
Kita perlu memastikan bahwa nilai x yang dihasilkan tidak sama dengan ±3.

Jika x = 3, maka h(3) = 3 / (3^2 - 9) = 3 / (9 - 9) = 3 / 0, yang tak terdefinisi.
Jika x = -3, maka h(-3) = -3 / ((-3)^2 - 9) = -3 / (9 - 9) = -3 / 0, yang tak terdefinisi.

Kita sudah menganalisis bahwa yx^2 - x - 9y = 0 akan selalu memiliki solusi real x untuk setiap y karena D > 0. Kita perlu memeriksa apakah solusi x ini bisa menjadi 3 atau -3.

Jika x = 3 adalah solusi dari yx^2 - x - 9y = 0:
y(3)^2 - 3 - 9y = 0
9y - 3 - 9y = 0
-3 = 0
Ini adalah kontradiksi, yang berarti x = 3 tidak pernah menjadi solusi dari persamaan kuadrat, terlepas dari nilai y.

Jika x = -3 adalah solusi dari yx^2 - x - 9y = 0:
y(-3)^2 - (-3) - 9y = 0
9y + 3 - 9y = 0
3 = 0
Ini juga adalah kontradiksi, yang berarti x = -3 tidak pernah menjadi solusi dari persamaan kuadrat, terlepas dari nilai y.

Karena diskriminan selalu positif dan nilai x yang dihasilkan tidak pernah sama dengan ±3 (yang merupakan domain yang dilarang), maka fungsi ini dapat menghasilkan semua nilai real y.

Jadi, daerah hasil (range) dari fungsi h(x) adalah semua bilangan real.