Daerah yang diarsir pada gambar ialah himpunan penyelesaian

Nilai maksimum dari f(x, y)=7x+6y adalah 110.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dari fungsi tujuan f(x, y) = 7x + 6y pada daerah yang diarsir (himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear), kita perlu menguji nilai fungsi tujuan pada setiap titik sudut (titik ekstrem) dari daerah yang diarsir tersebut. Dari gambar, titik-titik sudut yang teridentifikasi adalah (0, 12), (12, 0), dan titik potong antara garis 2x + y = 20 dan x + y = 18.

Untuk mencari titik potong kedua garis:
1. 2x + y = 20
2. x + y = 18

Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):
(2x + y) - (x + y) = 20 - 18
x = 2

Substitusikan nilai x = 2 ke persamaan (2):
2 + y = 18
y = 16
Jadi, titik potongnya adalah (2, 16).

Sekarang kita uji nilai f(x, y) = 7x + 6y pada setiap titik sudut:
1. Titik (0, 12): f(0, 12) = 7(0) + 6(12) = 0 + 72 = 72
2. Titik (12, 0): f(12, 0) = 7(12) + 6(0) = 84 + 0 = 84
3. Titik (2, 16): f(2, 16) = 7(2) + 6(16) = 14 + 96 = 110

Hasil pengujian menunjukkan bahwa nilai maksimum dari f(x, y) adalah 110 yang terjadi pada titik (2, 16).

Namun, perlu diperhatikan bahwa pada gambar, garis y=20 tampaknya menjadi batas atas untuk nilai y. Jika titik (2,16) berada di luar daerah yang diarsir karena batas y=20, maka kita perlu meninjau kembali titik-titik sudut yang valid. Asumsi umum dalam soal program linear adalah bahwa daerah yang diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh garis-garis yang disebutkan dan berada dalam kuadran pertama (x>=0, y>=0). Jika kita menganggap batas y=20 adalah garis yang relevan, maka titik (2,16) valid. Jika ada batasan lain yang tidak tergambar jelas atau jika ada kesalahan dalam interpretasi batas, maka hasil bisa berbeda.

Mengacu pada titik-titik sudut yang jelas terlihat dari perpotongan garis:
- Titik A (perpotongan sumbu Y dan x + y = 18): (0, 18). f(0, 18) = 7(0) + 6(18) = 108.
- Titik B (perpotongan sumbu X dan 2x + y = 20): (10, 0). f(10, 0) = 7(10) + 6(0) = 70.
- Titik C (perpotongan x + y = 18 dan 2x + y = 20): (2, 16). f(2, 16) = 7(2) + 6(16) = 14 + 96 = 110.

Jika ada batasan lain seperti y <= 15 (dari label Y 20 15 X 12 18, mungkin Y=15 adalah batas), maka titik (2,16) tidak valid. Jika batasnya adalah y=15, maka titik potong antara x+y=18 dan y=15 adalah (3,15), f(3,15) = 7(3)+6(15) = 21+90 = 111. Titik potong antara 2x+y=20 dan y=15 adalah (2.5, 15), f(2.5, 15) = 7(2.5)+6(15) = 17.5+90 = 107.5.

Dengan asumsi batas-batas adalah x>=0, y>=0, 2x+y<=20, dan x+y<=18, serta melihat nilai-nilai yang diuji pada titik-titik sudut yang valid dari sistem pertidaksamaan, nilai maksimum yang diperoleh adalah 110.