Diketahui f(x)=2/3 x^3-1/2 x^2-3x+1/6. Jika g(x)=f(1-2x),

Kurva g(x) naik pada selang (-1/4, 1).

Pembahasan

Untuk menentukan selang kenaikan kurva fungsi g(x) = f(1-2x), kita perlu mencari turunan pertama dari g(x), yaitu g'(x), dan menentukan kapan g'(x) > 0.

Diketahui f(x) = 2/3 x^3 - 1/2 x^2 - 3x + 1/6.

Turunan pertama dari f(x) adalah:
f'(x) = d/dx (2/3 x^3 - 1/2 x^2 - 3x + 1/6)
f'(x) = (2/3) * 3x^2 - (1/2) * 2x - 3
f'(x) = 2x^2 - x - 3

Sekarang, kita cari g(x) = f(1-2x).
Kita perlu menggunakan aturan rantai untuk mencari g'(x).
Misalkan u = 1-2x, maka du/dx = -2.

g(x) = f(u)
g'(x) = f'(u) * du/dx
g'(x) = f'(1-2x) * (-2)

Ganti u = 1-2x ke dalam f'(u):
f'(1-2x) = 2(1-2x)^2 - (1-2x) - 3
f'(1-2x) = 2(1 - 4x + 4x^2) - 1 + 2x - 3
f'(1-2x) = 2 - 8x + 8x^2 - 1 + 2x - 3
f'(1-2x) = 8x^2 - 6x - 2

Sekarang, kalikan dengan du/dx = -2:
g'(x) = (8x^2 - 6x - 2) * (-2)
g'(x) = -16x^2 + 12x + 4

Kurva fungsi g(x) naik ketika g'(x) > 0.
-16x^2 + 12x + 4 > 0
Bagi semua dengan -4 dan balikkan arah tanda ketidaksamaan:
4x^2 - 3x - 1 < 0

Untuk mencari kapan ekspresi ini kurang dari nol, kita cari akar-akar dari persamaan kuadrat 4x^2 - 3x - 1 = 0.
Kita bisa memfaktorkannya:
(4x + 1)(x - 1) = 0

Akar-akarnya adalah x = -1/4 dan x = 1.

Karena parabola 4x^2 - 3x - 1 terbuka ke atas (koefisien x^2 positif), maka ekspresi ini bernilai negatif di antara akar-akarnya.
Jadi, 4x^2 - 3x - 1 < 0 ketika -1/4 < x < 1.

Dengan demikian, kurva fungsi g(x) naik pada selang (-1/4, 1).