Dalam kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak

4√2 cm

Pembahasan

Untuk mencari jarak antara titik D ke bidang ABGH dalam kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm, kita perlu memahami konsep proyeksi titik ke bidang. 

Kubus ABCD.EFGH memiliki titik-titik sudut sebagai berikut:
A(0,0,8), B(8,0,8), C(8,8,8), D(0,8,8)
E(0,0,0), F(8,0,0), G(8,8,0), H(0,8,0)

Titik D memiliki koordinat (0,8,8).
Bidang ABGH dibentuk oleh titik-titik A(0,0,8), B(8,0,8), G(8,8,0), dan H(0,8,0).

Untuk mencari jarak dari titik D ke bidang ABGH, kita dapat memproyeksikan titik D ke bidang tersebut. Proyeksi titik D ke bidang ABGH adalah titik yang tegak lurus terhadap bidang tersebut. 

Persamaan bidang yang melalui titik A, B, H dapat dicari dengan vektor normal. Vektor AB = B - A = (8, 0, 0). Vektor AH = H - A = (0, 8, -8).

Vektor normal bidang (n) = AB x AH = (0, -64, 64).
Jika kita sederhanakan, vektor normalnya adalah (0, -1, 1).

Persamaan bidang ABGH: 0(x-0) - 1(y-0) + 1(z-8) = 0  => -y + z - 8 = 0 => y - z + 8 = 0.

Jarak dari titik D(0,8,8) ke bidang y - z + 8 = 0 adalah:
Jarak = |(8) - (8) + 8| / sqrt(0^2 + (-1)^2 + 1^2) = |8| / sqrt(2) = 8 / sqrt(2) = 4 * sqrt(2) cm.

Cara lain:
Jarak titik D ke bidang ABGH sama dengan jarak titik D ke garis AH (atau BG), karena DH tegak lurus terhadap bidang ABGH. Namun, ini tidak tepat.

Perhatikan bahwa bidang ABGH sejajar dengan bidang CDEF. Jarak titik D ke bidang ABGH adalah sama dengan jarak antara bidang ABCD dan bidang EFGH, yang merupakan panjang rusuk kubus, yaitu 8 cm. Ini tidak benar karena bidang ABGH tidak sejajar dengan alas.

Mari kita pertimbangkan kembali. Jarak dari titik D ke bidang ABGH. Kita bisa menggunakan rumus jarak titik ke bidang. 
Bidang ABGH adalah bidang yang memotong kubus. 

Bidang ABGH dapat direpresentasikan oleh persamaan.
Koordinat titik D adalah (0, 8, 8).
Bidang ABGH memiliki vektor normal (0, -1, 1) atau (0, 1, -1).
Persamaan bidang: y - z + 8 = 0.
Jarak D(0,8,8) ke bidang y - z + 8 = 0 adalah: |8 - 8 + 8| / sqrt(0^2 + 1^2 + (-1)^2) = 8 / sqrt(2) = 4 * sqrt(2).

Jawaban singkatnya adalah jarak titik D ke bidang ABGH adalah 4√2 cm.