Dalam suatu deret geometri buktikanlah:S(3n)/Sn =

Identitas terbukti dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri dan memanipulasi bentuk selisih kubik pada pembilang.

Pembahasan

Untuk membuktikan identitas \(S(3n)/S_n = r^{2n} + r^n + 1\) dalam deret geometri, kita perlu menggunakan rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri dan rumus suku ke-\(n\).

Misalkan suku pertama deret geometri adalah \(a\) dan rasio deretnya adalah \(r\).

Rumus jumlah \(n\) suku pertama deret geometri adalah:
\(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}\) (dengan syarat \(r \neq 1\))

Sekarang, mari kita cari \(S_{3n}\). Ini adalah jumlah \(3n\) suku pertama, sehingga kita mengganti \(n\) dengan \(3n\) dalam rumus jumlah:
\(S_{3n} = \frac{a(r^{3n} - 1)}{r - 1}\)

Selanjutnya, kita akan menghitung rasio \(S_{3n}/S_n\):
\(\frac{S_{3n}}{S_n} = \frac{\frac{a(r^{3n} - 1)}{r - 1}}{\frac{a(r^n - 1)}{r - 1}}\)

Kita bisa menyederhanakan persamaan ini dengan membatalkan \(a\) dan \((r - 1)\) di pembilang dan penyebut (asumsi \(a \neq 0\) dan \(r \neq 1\)):
\(\frac{S_{3n}}{S_n} = \frac{r^{3n} - 1}{r^n - 1}\)

Sekarang, kita perlu memanipulasi pembilang \(r^{3n} - 1\). Perhatikan bahwa \(r^{3n}\) dapat ditulis sebagai \((r^n)^3\). Jadi, pembilang adalah bentuk selisih kubik:
\(r^{3n} - 1 = (r^n)^3 - 1^3\)

Kita menggunakan rumus selisih kubik \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). Dalam kasus ini, \(a = r^n\) dan \(b = 1\).

Maka, \((r^n)^3 - 1^3 = (r^n - 1)((r^n)^2 + r^n \cdot 1 + 1^2)\)
\((r^n)^3 - 1 = (r^n - 1)(r^{2n} + r^n + 1)\)

Sekarang substitusikan kembali ke dalam rasio \(S_{3n}/S_n\):
\(\frac{S_{3n}}{S_n} = \frac{(r^n - 1)(r^{2n} + r^n + 1)}{r^n - 1}\)

Jika \(r^n \neq 1\) (yang berarti \(r \neq 1\) dan \(n \neq 0\)), kita bisa membatalkan faktor \((r^n - 1)\):
\(\frac{S_{3n}}{S_n} = r^{2n} + r^n + 1\)

Ini membuktikan identitas yang diminta.

**Catatan:** Pembuktian ini berlaku jika \(r \neq 1\). Jika \(r = 1\), maka deretnya adalah \(a, a, a, ...\). Dalam kasus ini, \(S_n = na\) dan \(S_{3n} = 3na\). Maka \(S_{3n}/S_n = 3na / na = 3\). Namun, jika \(r = 1\), maka \(r^{2n} + r^n + 1 = 1^{2n} + 1^n + 1 = 1 + 1 + 1 = 3\), sehingga identitas tersebut juga berlaku untuk \(r = 1\).