Jika cos a=1/3 untuk 3/2 pi<a<2pi dan sin b=1/3 akar(2)

Nilai dari (sin (a+b))/(tan a+tan b) adalah -sqrt(7)/9.

Pembahasan

Diketahui cos a = 1/3 untuk 3/2 pi < a < 2pi (kuadran IV) dan sin b = 1/3 * sqrt(2) untuk 1/2 pi < b < pi (kuadran II).
Kita perlu mencari nilai dari (sin (a+b)) / (tan a + tan b).

Langkah 1: Cari nilai sin a, tan a, sin b, dan tan b.
Untuk sudut a di kuadran IV:
Karena cos a = 1/3 (sisi samping/miring), kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari sisi depan: depan^2 + samping^2 = miring^2 => depan^2 + 1^2 = 3^2 => depan^2 = 8 => depan = -sqrt(8) = -2*sqrt(2) (negatif karena di kuadran IV).
Jadi, sin a = depan/miring = -2*sqrt(2) / 3.
tan a = depan/samping = -2*sqrt(2) / 1 = -2*sqrt(2).

Untuk sudut b di kuadran II:
Karena sin b = sqrt(2)/3 (sisi depan/miring), kita bisa menggunakan teorema Pythagoras untuk mencari sisi samping: depan^2 + samping^2 = miring^2 => (sqrt(2))^2 + samping^2 = 3^2 => 2 + samping^2 = 9 => samping^2 = 7 => samping = -sqrt(7) (negatif karena di kuadran II).
Jadi, cos b = samping/miring = -sqrt(7) / 3.
tan b = depan/samping = sqrt(2) / -sqrt(7) = -sqrt(2)/sqrt(7).

Langkah 2: Hitung sin(a+b).
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b
sin(a+b) = (-2*sqrt(2)/3) * (-sqrt(7)/3) + (1/3) * (sqrt(2)/3)
sin(a+b) = (2*sqrt(14)/9) + (sqrt(2)/9)
sin(a+b) = (2*sqrt(14) + sqrt(2)) / 9

Langkah 3: Hitung tan a + tan b.
tan a + tan b = -2*sqrt(2) + (-sqrt(2)/sqrt(7))
tan a + tan b = -2*sqrt(2) - sqrt(2)/sqrt(7)
Samakan penyebutnya:
tan a + tan b = (-2*sqrt(2)*sqrt(7) - sqrt(2)) / sqrt(7)
tan a + tan b = (-2*sqrt(14) - sqrt(2)) / sqrt(7)

Langkah 4: Hitung (sin (a+b)) / (tan a + tan b).
(sin (a+b)) / (tan a + tan b) = [ (2*sqrt(14) + sqrt(2)) / 9 ] / [ (-2*sqrt(14) - sqrt(2)) / sqrt(7) ]
= (2*sqrt(14) + sqrt(2)) / 9 * sqrt(7) / (-2*sqrt(14) - sqrt(2))
Perhatikan bahwa (2*sqrt(14) + sqrt(2)) = - (-2*sqrt(14) - sqrt(2)).
Jadi, kita bisa menyederhanakan:
= - sqrt(7) / 9

Jadi, nilai dari (sin (a+b)) / (tan a + tan b) adalah -sqrt(7)/9.