Dengan induksi matemarika buktikan pernyataan matematis

Pernyataan terbukti benar untuk n=1 (basis induksi). Dengan mengasumsikan benar untuk k dan membuktikan untuk k+1 (langkah induksi), terbukti bahwa 1+4+7+10+...+(3n-2) = (n(3n-1))/2.

Pembahasan

Untuk membuktikan pernyataan matematis 1+4+7+10+...+(3n-2) = (n(3n-1))/2 dengan induksi matematika, kita perlu mengikuti dua langkah utama:

Langkah 1: Basis Induksi
Buktikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n=1.
Untuk n=1, sisi kiri adalah suku pertama, yaitu (3*1 - 2) = 1.
Untuk n=1, sisi kanan adalah (1 * (3*1 - 1))/2 = (1 * (3 - 1))/2 = (1 * 2)/2 = 1.
Karena sisi kiri sama dengan sisi kanan (1 = 1), maka pernyataan tersebut benar untuk n=1.

Langkah 2: Langkah Induksi
Asumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu bilangan bulat positif k, yaitu:
1+4+7+10+...+(3k-2) = (k(3k-1))/2

Selanjutnya, kita harus membuktikan bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n=k+1. Artinya, kita perlu menunjukkan bahwa:
1+4+7+10+...+(3k-2) + (3(k+1)-2) = ((k+1)(3(k+1)-1))/2

Mari kita mulai dari sisi kiri persamaan untuk n=k+1:
[1+4+7+10+...+(3k-2)] + (3(k+1)-2)

Berdasarkan asumsi induksi, kita bisa mengganti bagian dalam kurung siku dengan (k(3k-1))/2:
(k(3k-1))/2 + (3(k+1)-2)

Sederhanakan suku terakhir:
3(k+1)-2 = 3k + 3 - 2 = 3k + 1

Sekarang substitusikan kembali:
(k(3k-1))/2 + (3k+1)

Untuk menjumlahkan kedua suku, samakan penyebutnya:
(k(3k-1))/2 + (2(3k+1))/2

Gabungkan kedua suku:
(k(3k-1) + 2(3k+1))/2

Distribusikan dan sederhanakan pembilangnya:
(3k^2 - k + 6k + 2)/2
(3k^2 + 5k + 2)/2

Sekarang, mari kita lihat sisi kanan dari pernyataan yang ingin kita buktikan untuk n=k+1:
((k+1)(3(k+1)-1))/2

Sederhanakan bagian dalam kurung:
(k+1)(3k + 3 - 1)/2
(k+1)(3k + 2)/2

Distribusikan pembilangnya:
(3k^2 + 2k + 3k + 2)/2
(3k^2 + 5k + 2)/2

Karena sisi kiri ((3k^2 + 5k + 2)/2) sama dengan sisi kanan ((3k^2 + 5k + 2)/2), maka pernyataan tersebut benar untuk n=k+1.

Kesimpulan:
Dengan induksi matematika, terbukti bahwa 1+4+7+10+...+(3n-2) = (n(3n-1))/2 untuk semua bilangan bulat positif n.