Dengan menggunakan definisi turunan fungsi, tentukan

Turunan dari f(x)=2 sin 2x adalah f'(x)=4 cos 2x.

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi trigonometri f(x) = 2 sin(2x) menggunakan definisi turunan (limit), kita gunakan rumus:

f'(x) = lim (h→0) [f(x + h) - f(x)] / h

Langkah 1: Tentukan f(x + h).
Ganti x dengan (x + h) dalam fungsi f(x):
f(x + h) = 2 sin(2(x + h))
f(x + h) = 2 sin(2x + 2h)

Langkah 2: Substitusikan f(x + h) dan f(x) ke dalam rumus definisi turunan.
f'(x) = lim (h→0) [2 sin(2x + 2h) - 2 sin(2x)] / h

Langkah 3: Gunakan identitas trigonometri.
Kita gunakan identitas jumlah sinus: sin A - sin B = 2 cos((A+B)/2) sin((A-B)/2).
Dalam kasus ini, A = 2x + 2h dan B = 2x.

(A + B) / 2 = (2x + 2h + 2x) / 2 = (4x + 2h) / 2 = 2x + h
(A - B) / 2 = (2x + 2h - 2x) / 2 = (2h) / 2 = h

Jadi, sin(2x + 2h) - sin(2x) = 2 cos(2x + h) sin(h).

Substitusikan kembali ke dalam limit:
f'(x) = lim (h→0) [2 * {2 cos(2x + h) sin(h)}] / h
f'(x) = lim (h→0) [4 cos(2x + h) sin(h)] / h

Pisahkan limit:
f'(x) = 4 * lim (h→0) [cos(2x + h)] * lim (h→0) [sin(h) / h]

Kita tahu bahwa:
lim (h→0) [sin(h) / h] = 1

Dan:
lim (h→0) [cos(2x + h)] = cos(2x + 0) = cos(2x)

Langkah 4: Hitung hasil akhirnya.
f'(x) = 4 * cos(2x) * 1
f'(x) = 4 cos(2x)

Jadi, turunan dari f(x) = 2 sin(2x) adalah f'(x) = 4 cos(2x).