Dengan menggunakan identitas 1+cot^2 theta=csc^2 theta,

Identitas terbukti dengan mengubah kedua sisi menggunakan identitas dasar trigonometri.

Pembahasan

Kita diminta untuk membuktikan identitas tan^2 θ + cot^2 θ + 2 = sec^2 θ ⋅ csc^2 θ menggunakan identitas dasar 1 + cot^2 θ = csc^2 θ.

Langkah 1: Ubah tan^2 θ dan cot^2 θ ke dalam bentuk sinus dan kosinus.
Ingat bahwa tan θ = sin θ / cos θ dan cot θ = cos θ / sin θ.
Maka, tan^2 θ = sin^2 θ / cos^2 θ dan cot^2 θ = cos^2 θ / sin^2 θ.

Langkah 2: Substitusikan ke dalam persamaan.
(sin^2 θ / cos^2 θ) + (cos^2 θ / sin^2 θ) + 2 = sec^2 θ ⋅ csc^2 θ

Langkah 3: Samakan penyebut pada sisi kiri.
Ambil penyebut bersama yaitu cos^2 θ ⋅ sin^2 θ.
[sin^2 θ ⋅ sin^2 θ + cos^2 θ ⋅ cos^2 θ] / (cos^2 θ ⋅ sin^2 θ) + 2 = sec^2 θ ⋅ csc^2 θ
(sin^4 θ + cos^4 θ) / (cos^2 θ ⋅ sin^2 θ) + 2 = sec^2 θ ⋅ csc^2 θ

Langkah 4: Gunakan identitas a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab untuk menyederhanakan pembilang (sin^4 θ + cos^4 θ).
Di sini, a = sin^2 θ dan b = cos^2 θ.
Maka, sin^4 θ + cos^4 θ = (sin^2 θ + cos^2 θ)^2 - 2 sin^2 θ cos^2 θ.
Karena sin^2 θ + cos^2 θ = 1, maka:
sin^4 θ + cos^4 θ = (1)^2 - 2 sin^2 θ cos^2 θ = 1 - 2 sin^2 θ cos^2 θ.

Langkah 5: Substitusikan kembali ke persamaan.
[1 - 2 sin^2 θ cos^2 θ] / (cos^2 θ ⋅ sin^2 θ) + 2 = sec^2 θ ⋅ csc^2 θ

Langkah 6: Pisahkan pecahan di sisi kiri.
[1 / (cos^2 θ ⋅ sin^2 θ)] - [2 sin^2 θ cos^2 θ / (cos^2 θ ⋅ sin^2 θ)] + 2 = sec^2 θ ⋅ csc^2 θ
[1 / (cos^2 θ ⋅ sin^2 θ)] - 2 + 2 = sec^2 θ ⋅ csc^2 θ

Langkah 7: Sederhanakan.
1 / (cos^2 θ ⋅ sin^2 θ) = sec^2 θ ⋅ csc^2 θ

Karena sec θ = 1/cos θ dan csc θ = 1/sin θ, maka sec^2 θ = 1/cos^2 θ dan csc^2 θ = 1/sin^2 θ.
Jadi, sec^2 θ ⋅ csc^2 θ = (1/cos^2 θ) ⋅ (1/sin^2 θ) = 1 / (cos^2 θ ⋅ sin^2 θ).

Dengan demikian, sisi kiri sama dengan sisi kanan, yang membuktikan identitas tersebut.

Alternatif menggunakan identitas yang diberikan: 1 + cot^2 θ = csc^2 θ.

Kita mulai dari tan^2 θ + cot^2 θ + 2.
Kita tahu bahwa tan^2 θ = 1 / cot^2 θ.
Jadi, persamaan menjadi: (1/cot^2 θ) + cot^2 θ + 2.

Gabungkan cot^2 θ + 2 dengan menggunakan identitas 1 + cot^2 θ = csc^2 θ:
cot^2 θ + 2 = (1 + cot^2 θ) + 1 = csc^2 θ + 1.

Jadi, persamaan menjadi: (1/cot^2 θ) + csc^2 θ + 1.

Ini belum mengarah langsung ke sec^2 θ ⋅ csc^2 θ. Mari kita coba pendekatan lain dengan memanipulasi sisi kanan.

Sisi kanan: sec^2 θ ⋅ csc^2 θ
Gunakan identitas sec^2 θ = 1 + tan^2 θ dan csc^2 θ = 1 + cot^2 θ.

(1 + tan^2 θ)(1 + cot^2 θ)
= 1 + cot^2 θ + tan^2 θ + tan^2 θ ⋅ cot^2 θ
Karena tan θ ⋅ cot θ = 1, maka tan^2 θ ⋅ cot^2 θ = 1.

= 1 + cot^2 θ + tan^2 θ + 1
= tan^2 θ + cot^2 θ + 2

Ini membuktikan identitas tersebut dengan menggunakan identitas dasar dan manipulasi aljabar.