Dengan menggunakan strategi kesamaan suku banyak, tentukan

Hasil bagi adalah $x+4$ dan sisa adalah $15x+58$.

Pembahasan

Untuk menentukan hasil bagi dan sisa pada pembagian suku banyak $x^3+2x^2-8x-2$ oleh $x^2-2x-15$ menggunakan strategi kesamaan suku banyak, kita dapat menyatakan:
$x^3+2x^2-8x-2 = (x^2-2x-15) \cdot H(x) + S(x)$
dengan $H(x)$ adalah hasil bagi dan $S(x)$ adalah sisa. Karena pembaginya berderajat 2, maka sisa $S(x)$ berderajat paling tinggi 1, yaitu $S(x) = Ax + B$.

$x^3+2x^2-8x-2 = (x^2-2x-15) \cdot H(x) + Ax + B$

Kita dapat memfaktorkan pembagi $x^2-2x-15$. Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -15 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Bilangan tersebut adalah -5 dan 3.
Jadi, $x^2-2x-15 = (x-5)(x+3)$.

Sekarang kita substitusikan akar-akar dari pembagi ke dalam persamaan.

Jika $x=5$:
$5^3 + 2(5^2) - 8(5) - 2 = (5^2 - 2(5) - 15) \cdot H(5) + A(5) + B$
$125 + 2(25) - 40 - 2 = (25 - 10 - 15) \cdot H(5) + 5A + B$
$125 + 50 - 40 - 2 = (0) \cdot H(5) + 5A + B$
$133 = 5A + B$ (Persamaan 1)

Jika $x=-3$:
$(-3)^3 + 2(-3)^2 - 8(-3) - 2 = ((-3)^2 - 2(-3) - 15) \cdot H(-3) + A(-3) + B$
$-27 + 2(9) + 24 - 2 = (9 + 6 - 15) \cdot H(-3) - 3A + B$
$-27 + 18 + 24 - 2 = (0) \cdot H(-3) - 3A + B$
$13 = -3A + B$ (Persamaan 2)

Sekarang kita selesaikan sistem persamaan linear untuk A dan B:
1) $5A + B = 133$
2) $-3A + B = 13$

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
$(5A + B) - (-3A + B) = 133 - 13$
$5A + B + 3A - B = 120$
$8A = 120$
$A = \frac{120}{8}$
$A = 15$

Substitusikan nilai A ke Persamaan 2:
$-3(15) + B = 13$
$-45 + B = 13$
$B = 13 + 45$
$B = 58$

Jadi, sisa pembagiannya adalah $S(x) = 15x + 58$.

Untuk mencari hasil bagi $H(x)$, kita bisa menggunakan pembagian panjang atau menyusun persamaan kembali. Karena pembagi berderajat 2 dan yang dibagi berderajat 3, hasil bagi $H(x)$ akan berderajat 1, yaitu $H(x) = Cx + D$.

$x^3+2x^2-8x-2 = (x^2-2x-15)(Cx+D) + 15x + 58$
$x^3+2x^2-8x-2 = C x^3 + D x^2 - 2C x^2 - 2D x - 15C x - 15D + 15x + 58$
$x^3+2x^2-8x-2 = C x^3 + (D-2C) x^2 + (-2D-15C+15) x + (-15D+58)$

Samakan koefisien:
Koefisien $x^3$: $1 = C$. Jadi, $C=1$.
Koefisien $x^2$: $2 = D - 2C$. Substitusi $C=1$: $2 = D - 2(1) 
ightarrow 2 = D - 2 
ightarrow D = 4$.

Sekarang kita cek koefisien x dan konstanta untuk memastikan konsistensi.
Koefisien x: $-8 = -2D - 15C + 15$. Substitusi $C=1, D=4$: $-8 = -2(4) - 15(1) + 15 = -8 - 15 + 15 = -8$. (Konsisten)
Konstanta: $-2 = -15D + 58$. Substitusi $D=4$: $-2 = -15(4) + 58 = -60 + 58 = -2$. (Konsisten)

Jadi, hasil bagi $H(x) = Cx + D = 1x + 4 = x+4$.

Hasil bagi adalah $x+4$ dan sisa adalah $15x+58$.