Dengan substitusi x=tan theta , tunjukkan bahwa integral 0

Nilai integral adalah π/8 + 1/4

Pembahasan

Untuk menunjukkan bahwa integral 0 hingga 1 dari 1/((x^2 + 1)^2) dx = integral 0 hingga pi/4 dari cos^2(theta) d(theta) menggunakan substitusi x = tan(theta), dan kemudian menentukan nilai eksaknya, kita ikuti langkah-langkah berikut:

Bagian 1: Menunjukkan kesamaan integral menggunakan substitusi x = tan(theta)

1. Tentukan turunan dx terhadap d(theta): Jika x = tan(theta), maka dx/d(theta) = sec^2(theta). Jadi, dx = sec^2(theta) d(theta).

2. Ubah batas integral: 
   - Batas bawah: Ketika x = 0, maka 0 = tan(theta), yang berarti theta = 0.
   - Batas atas: Ketika x = 1, maka 1 = tan(theta), yang berarti theta = pi/4.

3. Substitusikan x dan dx ke dalam integral:
   Integral dari 0 ke 1 dari 1/((x^2 + 1)^2) dx menjadi:
   Integral dari 0 ke pi/4 dari 1/(((tan(theta))^2 + 1)^2) * sec^2(theta) d(theta).

4. Gunakan identitas trigonometri tan^2(theta) + 1 = sec^2(theta):
   Integral dari 0 ke pi/4 dari 1/((sec^2(theta))^2) * sec^2(theta) d(theta)
   Integral dari 0 ke pi/4 dari 1/(sec^4(theta)) * sec^2(theta) d(theta)
   Integral dari 0 ke pi/4 dari sec^2(theta) / sec^4(theta) d(theta)
   Integral dari 0 ke pi/4 dari 1 / sec^2(theta) d(theta)
   Integral dari 0 ke pi/4 dari cos^2(theta) d(theta).

Ini menunjukkan bahwa kedua integral tersebut memang sama.

Bagian 2: Menentukan nilai eksak dari integral 0 hingga 1 dari 1/((x^2 + 1)^2) dx

Kita perlu mengevaluasi integral dari 0 hingga pi/4 dari cos^2(theta) d(theta).

1. Gunakan identitas trigonometri cos^2(theta) = (1 + cos(2*theta)) / 2:
   Integral dari 0 ke pi/4 dari (1 + cos(2*theta)) / 2 d(theta)

2. Pisahkan integral:
   (1/2) * [ Integral dari 0 ke pi/4 dari 1 d(theta) + Integral dari 0 ke pi/4 dari cos(2*theta) d(theta) ]

3. Integralkan masing-masing bagian:
   - Integral dari 1 d(theta) adalah theta.
   - Integral dari cos(2*theta) d(theta) adalah (1/2)sin(2*theta).

4. Terapkan batas integral:
   (1/2) * [ theta + (1/2)sin(2*theta) ] dari 0 ke pi/4

5. Evaluasi pada batas atas (theta = pi/4):
   (1/2) * [ (pi/4) + (1/2)sin(2*(pi/4)) ]
   (1/2) * [ pi/4 + (1/2)sin(pi/2) ]
   (1/2) * [ pi/4 + (1/2)*(1) ]
   (1/2) * [ pi/4 + 1/2 ]
   pi/8 + 1/4

6. Evaluasi pada batas bawah (theta = 0):
   (1/2) * [ 0 + (1/2)sin(0) ]
   (1/2) * [ 0 + 0 ] = 0

7. Kurangkan hasil batas bawah dari batas atas:
   (pi/8 + 1/4) - 0 = pi/8 + 1/4

Jadi, nilai eksak dari integral 0 hingga 1 dari 1/((x^2 + 1)^2) dx adalah pi/8 + 1/4.