Deret geometri 3 log(x+2)+3 log^2(x+2)+ 3 log^3(x+2)+ ....

$-\frac{19}{10} < x < 8$

Pembahasan

Deret geometri $3 \log(x+2) + 3 \log^2(x+2) + 3 \log^3(x+2) + ...$ akan konvergen jika nilai mutlak dari rasio deret tersebut kurang dari 1. Dalam deret ini, suku pertama ($a$) adalah $3 \log(x+2)$ dan rasio ($r$) adalah $\log(x+2)$.

Agar deret konvergen, syaratnya adalah $|r| < 1$.

$|\log(x+2)| < 1$

Ini berarti:
$-1 < \log(x+2) < 1$

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita perlu mempertimbangkan basis logaritma. Jika basisnya 10 (logaritma umum):

$10^{-1} < x+2 < 10^{1}$

$\frac{1}{10} < x+2 < 10$

Kurangi semua bagian dengan 2:

$\frac{1}{10} - 2 < x < 10 - 2$

$\frac{1}{10} - \frac{20}{10} < x < 8$

$-\frac{19}{10} < x < 8$

Selain itu, argumen logaritma harus positif, sehingga $x+2 > 0$, yang berarti $x > -2$.

Menggabungkan kedua kondisi, yaitu $x > -2$ dan $-\frac{19}{10} < x < 8$, maka irisan dari kedua kondisi tersebut adalah $-\frac{19}{10} < x < 8$.

Jadi, deret tersebut akan konvergen jika $-\frac{19}{10} < x < 8$.