Deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 8, sedangkan

Rasio deret adalah 1/2 dan suku pertama adalah 4.

Pembahasan

Misalkan deret geometri tak hingga tersebut adalah $a, ar, ar^2, ar^3, ...$
Jumlah deret tak hingga ($S_{\infty}$) diberikan oleh rumus $S_{\infty} = \frac{a}{1-r}$, di mana $|r| < 1$.
Diketahui $S_{\infty} = 8$, sehingga $\frac{a}{1-r} = 8$ (Persamaan 1).

Jumlah suku-suku yang berindeks ganjil adalah suku pertama, ketiga, kelima, dst. yaitu $a, ar^2, ar^4, ...$
Ini adalah sebuah deret geometri baru dengan suku pertama $a$ dan rasio $r^2$.
Jumlah suku-suku berindeks ganjil ($S_{ganjil}$) diberikan oleh rumus $S_{ganjil} = \frac{a}{1-r^2}$.
Diketahui $S_{ganjil} = \frac{16}{3}$, sehingga $\frac{a}{1-r^2} = \frac{16}{3}$ (Persamaan 2).

Dari Persamaan 1, kita punya $a = 8(1-r)$. Substitusikan ini ke Persamaan 2:
\frac{8(1-r)}{1-r^2} = \frac{16}{3}
Karena $1-r^2 = (1-r)(1+r)$, maka:
\frac{8(1-r)}{(1-r)(1+r)} = \frac{16}{3}
Dengan asumsi $r \neq 1$ (karena $|r|<1$), kita bisa membatalkan $(1-r)$:
\frac{8}{1+r} = \frac{16}{3}
Sekarang, kita bisa menyelesaikan untuk $r$:
$8 \times 3 = 16 \times (1+r)$
$24 = 16 + 16r$
$24 - 16 = 16r$
$8 = 16r$
$r = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Setelah menemukan rasio $r = \frac{1}{2}$, kita bisa mencari suku pertama $a$ menggunakan Persamaan 1:
$\frac{a}{1-r} = 8$
$\frac{a}{1-\frac{1}{2}} = 8$
$\frac{a}{\frac{1}{2}} = 8$
$2a = 8$
$a = 4$

Jadi, rasio deret tersebut adalah $\frac{1}{2}$ dan suku pertamanya adalah 4.