Tentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari

Nilai minimum f(x) = x² - 50x adalah -625 di x=25. Nilai maksimum f(x) = 8x - x² adalah 16 di x=4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum) dari fungsi kuadrat, kita dapat menggunakan beberapa metode, termasuk mencari titik puncak atau menggunakan turunan.

**a. f(x) = x² - 50x**
Ini adalah fungsi kuadrat dalam bentuk $f(x) = ax^2 + bx + c$, dengan $a=1$, $b=-50$, dan $c=0$. Karena $a > 0$, parabola terbuka ke atas, sehingga memiliki nilai minimum.

*   **Metode Titik Puncak:**
    Absis titik puncak (x-koordinat) diberikan oleh rumus $x = -b / (2a)$.
    $x = -(-50) / (2 * 1) = 50 / 2 = 25$.
    Nilai minimumnya adalah $f(25) = (25)^2 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.

*   **Metode Turunan:**
    Cari turunan pertama $f'(x) = 2x - 50$.
    Atur $f'(x) = 0$ untuk mencari titik kritis: $2x - 50 = 0 \implies 2x = 50 \implies x = 25$.
    Cari turunan kedua $f''(x) = 2$. Karena $f''(25) = 2 > 0$, maka pada $x=25$ terdapat nilai minimum.
    Nilai minimumnya adalah $f(25) = 25^2 - 50(25) = 625 - 1250 = -625$.
    Jadi, nilai minimum fungsi f(x) = x² - 50x adalah -625.

**b. f(x) = 8x - x²**
Ini adalah fungsi kuadrat dalam bentuk $f(x) = -x^2 + 8x$, dengan $a=-1$, $b=8$, dan $c=0$. Karena $a < 0$, parabola terbuka ke bawah, sehingga memiliki nilai maksimum.

*   **Metode Titik Puncak:**
    Absis titik puncak $x = -b / (2a)$.
    $x = -(8) / (2 * -1) = -8 / -2 = 4$.
    Nilai maksimumnya adalah $f(4) = 8(4) - (4)^2 = 32 - 16 = 16$.

*   **Metode Turunan:**
    Cari turunan pertama $f'(x) = 8 - 2x$.
    Atur $f'(x) = 0$: $8 - 2x = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
    Cari turunan kedua $f''(x) = -2$. Karena $f''(4) = -2 < 0$, maka pada $x=4$ terdapat nilai maksimum.
    Nilai maksimumnya adalah $f(4) = 8(4) - 4^2 = 32 - 16 = 16$.
    Jadi, nilai maksimum fungsi f(x) = 8x - x² adalah 16.