Di atas lahan seluas 24.000 m^2 dibangun perumahan dengan

Laba maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp 680.000.000 dengan membangun 80 rumah tipe A dan 120 rumah tipe B.

Pembahasan

Untuk menentukan laba maksimum yang dapat diperoleh, kita perlu menggunakan konsep program linear.

Misalkan:
x = jumlah rumah tipe A
y = jumlah rumah tipe B

Kendala yang ada adalah:
1. Luas lahan: Luas tipe A adalah 150 m² dan tipe B adalah 100 m². Total lahan adalah 24.000 m². Maka, 150x + 100y ≤ 24.000, yang dapat disederhanakan menjadi 3x + 2y ≤ 480.
2. Jumlah rumah: Jumlah rumah yang dibangun tidak lebih dari 200 unit. Maka, x + y ≤ 200.
3. Non-negatif: Jumlah rumah tidak boleh negatif. Maka, x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Fungsi tujuan (laba) yang ingin dimaksimalkan adalah Z = 4.000.000x + 3.000.000y.

Untuk mencari laba maksimum, kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yang dibatasi oleh kendala-kendala tersebut.

Titik potong antara kendala:
*   3x + 2y = 480
*   x + y = 200

Dari persamaan kedua, y = 200 - x. Substitusikan ke persamaan pertama:
3x + 2(200 - x) = 480
3x + 400 - 2x = 480
x = 80

Maka, y = 200 - 80 = 120.

Titik-titik pojoknya adalah:
1. Titik potong sumbu x dari 3x + 2y = 480: Jika y=0, 3x = 480, x = 160. Titik (160, 0).
2. Titik potong sumbu y dari 3x + 2y = 480: Jika x=0, 2y = 480, y = 240. Titik (0, 240).
3. Titik potong sumbu x dari x + y = 200: Jika y=0, x = 200. Titik (200, 0).
4. Titik potong sumbu y dari x + y = 200: Jika x=0, y = 200. Titik (0, 200).
5. Titik potong antara 3x + 2y = 480 dan x + y = 200: Titik (80, 120).

Namun, kita juga perlu memperhatikan bahwa titik (0, 240) dan (200, 0) tidak memenuhi semua kendala. Titik yang valid adalah yang memenuhi semua kendala:
*   (0, 0): Memenuhi.
*   (160, 0): Memenuhi 3(160) + 2(0) = 480 ≤ 480 dan 160 + 0 = 160 ≤ 200.
*   (0, 200): Memenuhi 3(0) + 2(200) = 400 ≤ 480 dan 0 + 200 = 200 ≤ 200.
*   (80, 120): Memenuhi 3(80) + 2(120) = 240 + 240 = 480 ≤ 480 dan 80 + 120 = 200 ≤ 200.

Sekarang, hitung laba pada setiap titik pojok:
*   Z(0, 0) = 4.000.000(0) + 3.000.000(0) = Rp 0.
*   Z(160, 0) = 4.000.000(160) + 3.000.000(0) = Rp 640.000.000.
*   Z(0, 200) = 4.000.000(0) + 3.000.000(200) = Rp 600.000.000.
*   Z(80, 120) = 4.000.000(80) + 3.000.000(120) = 320.000.000 + 360.000.000 = Rp 680.000.000.

Jadi, laba maksimum yang dapat diperoleh adalah Rp 680.000.000.