Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x)=cos ^6x+sin

Nilai maksimum adalah 1 dan nilai minimum adalah 1/4.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = cos^6(x) + sin^6(x), kita bisa menggunakan identitas trigonometri.

Kita tahu bahwa:
cos^2(x) + sin^2(x) = 1

Kita juga bisa menggunakan identitas:
a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

Misalkan a = cos^2(x) dan b = sin^2(x).
Maka:
cos^6(x) + sin^6(x) = (cos^2(x))^3 + (sin^2(x))^3
= (cos^2(x) + sin^2(x))((cos^2(x))^2 - cos^2(x)sin^2(x) + (sin^2(x))^2)
= (1)(cos^4(x) - cos^2(x)sin^2(x) + sin^4(x))

Sekarang kita perlu menyederhanakan cos^4(x) + sin^4(x).
Kita tahu bahwa:
(cos^2(x) + sin^2(x))^2 = 1^2
cos^4(x) + 2cos^2(x)sin^2(x) + sin^4(x) = 1
cos^4(x) + sin^4(x) = 1 - 2cos^2(x)sin^2(x)

Maka, fungsi menjadi:
f(x) = (1 - 2cos^2(x)sin^2(x)) - cos^2(x)sin^2(x)
f(x) = 1 - 3cos^2(x)sin^2(x)

Kita juga diberikan informasi bahwa 2sin(x)cos(x) = sin(2x).
Kita tahu bahwa sin(2x) = 2sin(x)cos(x).
Maka, sin^2(2x) = (2sin(x)cos(x))^2 = 4sin^2(x)cos^2(x).
Jadi, cos^2(x)sin^2(x) = (1/4)sin^2(2x).

Substitusikan ini ke dalam fungsi f(x):
f(x) = 1 - 3 * (1/4)sin^2(2x)
f(x) = 1 - (3/4)sin^2(2x)

Sekarang kita perlu mencari nilai maksimum dan minimum dari f(x).
Nilai sin(2x) berkisar antara -1 dan 1.
Nilai sin^2(2x) berkisar antara 0 dan 1 (karena dikuadratkan).

Untuk mencari nilai maksimum f(x), kita perlu meminimalkan (3/4)sin^2(2x).
Nilai minimum dari sin^2(2x) adalah 0.
Jadi, nilai maksimum f(x) = 1 - (3/4)*0 = 1.
Nilai maksimum terjadi ketika sin^2(2x) = 0, yang berarti sin(2x) = 0. Ini terjadi ketika 2x = n*pi, atau x = n*pi/2, di mana n adalah bilangan bulat.

Untuk mencari nilai minimum f(x), kita perlu memaksimalkan (3/4)sin^2(2x).
Nilai maksimum dari sin^2(2x) adalah 1.
Jadi, nilai minimum f(x) = 1 - (3/4)*1 = 1 - 3/4 = 1/4.
Nilai minimum terjadi ketika sin^2(2x) = 1, yang berarti sin(2x) = ±1. Ini terjadi ketika 2x = pi/2 + n*pi, atau x = pi/4 + n*pi/2, di mana n adalah bilangan bulat.

Jadi, nilai maksimum fungsi adalah 1 dan nilai minimumnya adalah 1/4.