Di SMP X jumlah siswa kelas 2 ada 150 siswa, menjelang

a. Nilai rata-rata sekitar 82.32. b. Sekitar 136 siswa mendapat nilai di atas 77.

Pembahasan

Kita akan menyelesaikan soal ini menggunakan konsep distribusi normal.

Diketahui:
Jumlah siswa kelas 2: $N = 150$ siswa.
Nilai terendah untuk naik kelas (batas bawah): $X_{batas} = 75$.
Jumlah siswa yang tidak naik kelas: 5 siswa.
Simpangan baku: $\sigma = 4$.

Kita asumsikan bahwa nilai siswa berdistribusi normal. Siswa yang tidak naik kelas adalah siswa yang nilainya berada di bawah nilai terendah yang ditetapkan, yaitu 75.

a. Nilai rata-rata mata pelajaran agama ($\mu$).

Kita tahu bahwa 5 siswa tidak naik kelas, yang berarti 5 siswa memiliki nilai di bawah 75. Jika distribusi normal diasumsikan, jumlah siswa yang nilainya di bawah 75 adalah 5 dari total 150 siswa.

Probabilitas seorang siswa mendapat nilai di bawah 75 adalah:
P(X < 75) = $\frac{5}{150} = \frac{1}{30} \\approx 0.0333$

Kita dapat menggunakan skor-z untuk menghubungkan nilai ini dengan rata-rata dan simpangan baku:
$z = \frac{X - \mu}{\sigma}$

Untuk nilai 75, skor-z yang sesuai adalah:
$z = \frac{75 - \mu}{4}$

Kita perlu mencari nilai $z$ yang sesuai dengan probabilitas kumulatif 0.0333. Menggunakan tabel distribusi normal standar (tabel z), nilai $z$ yang paling mendekati untuk probabilitas kumulatif 0.0333 adalah sekitar -1.83.

Jadi, kita dapat menyamakan:
$-1.83 = \frac{75 - \mu}{4}$

Sekarang, kita selesaikan untuk $\mu$:
$-1.83 \times 4 = 75 - \mu$
$-7.32 = 75 - \mu$
$\\mu = 75 + 7.32$
$\\mu = 82.32$

Jadi, nilai rata-rata mata pelajaran agama adalah sekitar 82.32.

b. Berapa siswa yang mendapat nilai di atas 77.

Sekarang kita ingin mencari jumlah siswa yang mendapat nilai di atas 77. Kita perlu menghitung skor-z untuk nilai 77 dengan $\mu = 82.32$ dan $\sigma = 4$.

$z = \frac{77 - 82.32}{4}$
$z = \frac{-5.32}{4}$
$z = -1.33$

Sekarang, kita cari probabilitas P(X > 77) atau P(Z > -1.33). Menggunakan tabel distribusi normal, P(Z < -1.33) adalah sekitar 0.0918.

Karena tabel z memberikan probabilitas kumulatif dari kiri, P(Z > -1.33) = 1 - P(Z < -1.33).

P(Z > -1.33) = 1 - 0.0918 = 0.9082.

Jumlah siswa yang mendapat nilai di atas 77 adalah:
Jumlah siswa = P(X > 77) $\times$ Total siswa
Jumlah siswa = $0.9082 \times 150$
Jumlah siswa $\approx 136.23$

Karena jumlah siswa harus bilangan bulat, kita bisa membulatkannya menjadi 136 siswa.

Jadi, a. Nilai rata-rata mata pelajaran agama adalah sekitar 82.32. b. Sekitar 136 siswa mendapat nilai di atas 77.