Tentukan himpunan penyelesaian daripersamaan-persamaan

Himpunan penyelesaiannya adalah {1/12π, 5/12π, 25/12π}.

Pembahasan

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin(x+1/4π) = sin 1/3π dengan batasan 0 ≤ x ≤ 2π, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Gunakan identitas dasar sinus:**
    Jika sin A = sin B, maka solusinya adalah:
    a) A = B + k * 2π
    b) A = (π - B) + k * 2π
    dengan k adalah bilangan bulat.

2.  **Terapkan pada soal:**
    Dalam kasus ini, A = x + 1/4π dan B = 1/3π.

    a)  x + 1/4π = 1/3π + k * 2π
        x = 1/3π - 1/4π + k * 2π
        x = (4π - 3π) / 12 + k * 2π
        x = 1/12π + k * 2π

        Untuk k = 0, x = 1/12π (memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π)
        Untuk k = 1, x = 1/12π + 2π = 25/12π (memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π)

    b)  x + 1/4π = (π - 1/3π) + k * 2π
        x + 1/4π = 2/3π + k * 2π
        x = 2/3π - 1/4π + k * 2π
        x = (8π - 3π) / 12 + k * 2π
        x = 5/12π + k * 2π

        Untuk k = 0, x = 5/12π (memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π)
        Untuk k = 1, x = 5/12π + 2π = 29/12π (tidak memenuhi 0 ≤ x ≤ 2π karena lebih besar dari 2π)

3.  **Himpunan Penyelesaian:**
    Dengan menggabungkan solusi dari kedua kasus, himpunan penyelesaiannya adalah {1/12π, 5/12π, 25/12π}.
    Perlu dicatat bahwa 25/12π = 2π + 1/12π, yang berarti 1/12π dan 25/12π mewakili sudut yang sama dalam satu putaran penuh, namun karena batasan 0 ≤ x ≤ 2π, keduanya adalah solusi yang valid jika kita menganggap interval tersebut sebagai [0, 2π]. Jika intervalnya adalah [0, 2π), maka 25/12π tidak termasuk. Namun, secara umum, jika batasannya adalah 0 ≤ x ≤ 2π, maka kedua nilai tersebut dianggap dalam rentang tersebut.