Diketahui |a|=3 dan |b|=2, serta sudut antara a dan b

Nilai dari $(5a+3b) \\cdot (3b-a)$ adalah -45.

Pembahasan

Diketahui $|a|=3$, $|b|=2$, dan sudut antara a dan b adalah $120^{\circ}$. Kita ingin mencari nilai dari $(5a+3b) \\cdot (3b-a)$.
Kita gunakan sifat perkalian dot:
$(5a+3b) \\cdot (3b-a) = 5a \\cdot (3b-a) + 3b \\cdot (3b-a)$
$= (5a \\cdot 3b) - (5a \\cdot a) + (3b \\cdot 3b) - (3b \\cdot a)$
$= 15(a \\cdot b) - 5|a|^2 + 9|b|^2 - 3(b \\cdot a)$
Karena $a \\cdot b = b \\cdot a$, maka:
$= 15(a \\cdot b) - 5|a|^2 + 9|b|^2 - 3(a \\cdot b)$
$= 12(a \\cdot b) - 5|a|^2 + 9|b|^2$

Kita tahu bahwa $a \\cdot b = |a| |b| \\cos \\theta$.
$a \\cdot b = 3 \\times 2 \\times \\cos 120^{\circ}$
$a \\cdot b = 6 \\times (-\\frac{1}{2})$
$a \\cdot b = -3$

Sekarang kita substitusikan nilai $|a|$, $|b|$, dan $a \\cdot b$ ke dalam persamaan:
$= 12(-3) - 5(3^2) + 9(2^2)$
$= -36 - 5(9) + 9(4)$
$= -36 - 45 + 36$
$= -45$

Jadi, nilai dari $(5a+3b) \\cdot (3b-a)$ adalah -45.