Diberikan -1<x<0. Manakah hubungan yang benar antara

P lebih kecil dari Q.

Pembahasan

Untuk menentukan hubungan antara P dan Q, kita perlu menyederhanakan ekspresi P terlebih dahulu.

P = (1 - 3^x) / (1 - 3^(x+2) * 3^(x-2))

Dalam penyebut, kita memiliki perkalian dua suku dengan basis yang sama (3), sehingga kita bisa menjumlahkan eksponennya:
3^(x+2) * 3^(x-2) = 3^((x+2) + (x-2)) = 3^(2x)

Jadi, ekspresi P menjadi:
P = (1 - 3^x) / (1 - 3^(2x))

Kita tahu bahwa 3^(2x) = (3^x)^2. Jadi, penyebutnya adalah selisih kuadrat:
1 - 3^(2x) = 1 - (3^x)^2 = (1 - 3^x)(1 + 3^x)

Maka, P dapat disederhanakan lebih lanjut:
P = (1 - 3^x) / [(1 - 3^x)(1 + 3^x)]

Dengan asumsi (1 - 3^x) tidak sama dengan 0 (yang benar karena -1 < x < 0, sehingga 3^x tidak sama dengan 1), kita bisa membatalkan suku (1 - 3^x) di pembilang dan penyebut:
P = 1 / (1 + 3^x)

Sekarang kita bandingkan P dengan Q.
Q = 1 + 3^x

Karena -1 < x < 0, kita tahu bahwa:
3^(-1) < 3^x < 3^0
1/3 < 3^x < 1

Mari kita analisis nilai P dan Q:
Untuk P = 1 / (1 + 3^x):
Karena 1/3 < 3^x < 1, maka:
1 + 1/3 < 1 + 3^x < 1 + 1
4/3 < 1 + 3^x < 2

Maka, nilai P adalah:
1/2 < P < 3/4

Untuk Q = 1 + 3^x:
Kita sudah menemukan bahwa:
4/3 < Q < 2

Sekarang kita bandingkan rentang nilai P dan Q:
P berada di antara 1/2 (0.5) dan 3/4 (0.75).
Q berada di antara 4/3 (sekitar 1.33) dan 2.

Jelas terlihat bahwa semua nilai P lebih kecil daripada semua nilai Q. Oleh karena itu, kuantitas P lebih kecil daripada kuantitas Q.