Diberikan a dan b bilangan real dengan a>1 dan b>1. Jika

Berdasarkan syarat yang diberikan, tidak ada solusi. Jika syarat b>1 diabaikan, maka a=4.

Pembahasan

Diberikan dua persamaan:
1) $ab = a^b$
2) $a/b = a^{3b}$

Dengan $a > 1$ dan $b > 1$.

Dari persamaan (1), kita bisa mengambil logaritma dari kedua sisi (misalnya logaritma natural, ln):
$\(ln(ab) = ln(a^b) \)
$\(ln(a) + ln(b) = b 	imes ln(a) \)
$\(ln(b) = b 	imes ln(a) - ln(a) \)
$\(ln(b) = ln(a) (b - 1) \)$  (Persamaan 3)

Dari persamaan (2), kita juga bisa mengambil logaritma:
$\(ln(a/b) = ln(a^{3b}) \)
$\(ln(a) - ln(b) = 3b 	imes ln(a) \)$  (Persamaan 4)

Sekarang, substitusikan $ln(b)$ dari Persamaan 3 ke dalam Persamaan 4:
$\(ln(a) - [ln(a) (b - 1)] = 3b 	imes ln(a) \)
Karena $a > 1$, maka $ln(a) \neq 0$. Kita bisa membagi kedua sisi dengan $ln(a)$:
$\(1 - (b - 1) = 3b \)
$\(1 - b + 1 = 3b \)
$\(2 - b = 3b \)
$\(2 = 3b + b \)
$\(2 = 4b \)
$\(b = 2/4 \)
$\(b = 1/2 \)$

Namun, diberikan bahwa $b > 1$. Ini berarti ada kontradiksi atau kesalahan dalam langkah-langkah atau pemahaman soal.

Mari kita coba pendekatan lain dari Persamaan 2:
$a/b = a^{3b}$
Bagi kedua sisi dengan $a$ (karena $a > 1$, $a \neq 0$):
$1/b = a^{3b} / a$
$1/b = a^{3b-1}$
$b^{-1} = a^{3b-1}$

Ambil logaritma pada kedua sisi:
$ln(b^{-1}) = ln(a^{3b-1})$
$-ln(b) = (3b-1) ln(a)$
$ln(b) = -(3b-1) ln(a)$
$ln(b) = (1-3b) ln(a)$  (Persamaan 5)

Sekarang kita punya dua ekspresi untuk $ln(b)$: dari Persamaan 3 dan Persamaan 5.
Persamaan 3: $ln(b) = ln(a) (b - 1)$
Persamaan 5: $ln(b) = ln(a) (1-3b)$

Karena $ln(a) \neq 0$, kita dapat menyamakan bagian yang lain:
$ln(a) (b - 1) = ln(a) (1-3b)$
$b - 1 = 1 - 3b$
$b + 3b = 1 + 1$
$4b = 2$
$b = 2/4 = 1/2$

Kita kembali mendapatkan $b = 1/2$, yang bertentangan dengan syarat $b > 1$. Mari kita periksa kembali soal atau asumsi.

Asumsi yang mungkin perlu diperiksa adalah jika $a/b = a^{3b}$ berarti $1/b = a^{3b-1}$ atau jika $a$ bisa dibagi keluar dari $a^{3b}$ seperti itu. Ya, $a^{3b} / a = a^{3b-1}$.

Mari kita lihat Persamaan (2) lagi: $a/b = a^{3b}$.
Jika $a > 1$, maka $a^{3b} > 1$. Ini berarti $a/b > 1$. Karena $a > 1$, ini menyiratkan $b$ harus positif.

Mari kita gunakan bentuk eksponensial:
Dari (1): $a^b = ab$
Dari (2): $a^{1-3b} = 1/b$

Substitusi $a = (ab)^{1/b}$ dari (1) ke dalam (2):
$((ab)^{1/b})^{1-3b} = 1/b$
$(ab)^{(1-3b)/b} = 1/b$
$(ab)^{1/b - 3} = 1/b$

Ini menjadi rumit. Mari kembali ke persamaan logaritma:
1) $ln(a) + ln(b) = b ln(a)  \implies ln(b) = (b-1)ln(a)$
2) $ln(a) - ln(b) = 3b ln(a)  \implies -ln(b) = (3b-1)ln(a)  \implies ln(b) = -(3b-1)ln(a) = (1-3b)ln(a)$

Menyamakan kedua ekspresi untuk $ln(b)$:
$(b-1)ln(a) = (1-3b)ln(a)$
Karena $a>1$, $ln(a) \neq 0$, maka kita bisa membagi dengan $ln(a)$.
$b-1 = 1-3b$
$b+3b = 1+1$
$4b = 2$
$b = 1/2$

Ada kemungkinan kesalahan ketik dalam soal atau saya melakukan kesalahan penalaran.

Mari kita coba manipulasi aljabar langsung:
Dari (2), $a/b = a^{3b}$.
$a^{1-3b} = 1/b$.
$a = (1/b)^{1/(1-3b)} = b^{-1/(1-3b)} = b^{1/(3b-1)}$.

Substitusikan $a$ ini ke dalam (1) $ab = a^b$:
$b^{1/(3b-1)} 	imes b = (b^{1/(3b-1)})^b$
$b^{1/(3b-1) + 1} = b^{b/(3b-1)}$
$b^{(1 + 3b - 1)/(3b-1)} = b^{b/(3b-1)}$
$b^{3b/(3b-1)} = b^{b/(3b-1)}$

Karena basisnya sama ($b>1$), maka eksponennya harus sama:
$3b/(3b-1) = b/(3b-1)$

Agar persamaan ini berlaku, haruslah:
$3b = b$
$2b = 0$
$b = 0$

Ini juga bertentangan dengan $b>1$.

Mari kita periksa lagi dari $a^{1-3b} = 1/b$ dan $a = b^{1/(3b-1)}$.

Jika $a = b^{1/(3b-1)}$ dan kita substitusikan ke $ab=a^b$.
$a = b^{1/(3b-1)}$
$a^b = (b^{1/(3b-1)})^b = b^{b/(3b-1)}$
$ab = b^{1/(3b-1)} 	imes b = b^{1/(3b-1) + 1} = b^{(1+3b-1)/(3b-1)} = b^{3b/(3b-1)}$

Jadi, $a^b = ab$ menjadi $b^{b/(3b-1)} = b^{3b/(3b-1)}$.
Ini berarti $b/(3b-1) = 3b/(3b-1)$.
Ini hanya mungkin jika $b = 3b$, yang menghasilkan $2b=0$, $b=0$, yang tidak memenuhi $b>1$.

Ada kemungkinan interpretasi lain atau kesalahan dalam soal.

Mari kita coba dari $a/b = a^{3b}$.
$a^{1-3b} = 1/b$.
Jika kita angkat kedua sisi ke pangkat $1/(1-3b)$ (dengan asumsi $1-3b \neq 0$):
$a = (1/b)^{1/(1-3b)} = b^{-1/(1-3b)} = b^{1/(3b-1)}$.

Sekarang gunakan $ab = a^b$.
Bagi kedua sisi dengan $a$ (karena $a>1$, $a \neq 0$):
$b = a^{b-1}$.
$a = b^{1/(b-1)}$.

Kita sekarang punya dua ekspresi untuk $a$:
$a = b^{1/(3b-1)}$
$a = b^{1/(b-1)}$

Karena basisnya sama ($b>1$), maka eksponennya harus sama:
$1/(3b-1) = 1/(b-1)$

Ini menyiratkan:
$3b-1 = b-1$
$3b = b$
$2b = 0$
$b = 0$

Sekali lagi, $b=0$, yang bertentangan dengan syarat $b>1$. Sepertinya soal ini memiliki inkonsistensi internal atau saya membuat kesalahan sistematis.

Mari kita periksa ulang manipulasi awal:
$a/b = a^{3b}$. Maka $a^{1-3b} = 1/b$. Ini benar.
$ab = a^b$. Maka $b = a^{b-1}$ (jika $a \neq 0$). Ini benar.

Jika $a = b^{1/(b-1)}$:
Substitusi ke $a^{1-3b} = 1/b$
$(b^{1/(b-1)})^{1-3b} = 1/b$
$b^{(1-3b)/(b-1)} = b^{-1}$

Samakan eksponen:
$(1-3b)/(b-1) = -1$
$1-3b = -(b-1)$
$1-3b = -b+1$
$-3b = -b$
$0 = 2b$
$b = 0$

Masih $b=0$. Sepertinya ada masalah dengan soal ini.

Jika kita anggap soalnya benar dan mencoba mencari nilai $a$. Bisa jadi ada kasus khusus yang terlewat.

Kembali ke $b-1 = 1-3b$. Ini didapat dari $ln(b) = (b-1)ln(a)$ dan $ln(b) = (1-3b)ln(a)$. Ini mengasumsikan logaritma bisa diambil.

Misalkan kita coba substitusi $a=b^{1/(b-1)}$ ke $ab=a^b$. Ini adalah identitas. Sepertinya cara ini tidak membantu mencari nilai spesifik.

Mari kita coba kembali ke $a/b = a^{3b}$ dan $ab = a^b$.
Bagi kedua persamaan:
$(ab) / (a/b) = a^b / a^{3b}$
$ab 	imes (b/a) = a^{b-3b}$
$b^2 = a^{-2b}$
$b^2 = 1/a^{2b}$
$b^2 a^{2b} = 1$
$(ba^b)^2 = 1$

Karena $a>1$ dan $b>1$, maka $ba^b$ harus positif. Jadi,
$ba^b = 1$

Ini sangat aneh karena $a>1$ dan $b>1$ membuat $ba^b > 1$. Jadi $ba^b=1$ tidak mungkin.

Ada kemungkinan besar kesalahan dalam soal asli yang diberikan.

Namun, jika kita dipaksa untuk menemukan nilai $a$, mari kita lihat kembali $b=1/2$. Jika $b=1/2$, maka $a > 1$ dan $b > 1$ tidak terpenuhi.

Jika kita mengabaikan syarat $b>1$ untuk sementara dan menggunakan $b=1/2$. Dari $ln(b) = (b-1)ln(a)$:
$ln(1/2) = (1/2 - 1) ln(a)$
$-ln(2) = (-1/2) ln(a)$
$2 ln(2) = ln(a)$
$ln(2^2) = ln(a)$
$ln(4) = ln(a)$
$a = 4$

Mari kita cek apakah $a=4, b=1/2$ memenuhi kedua persamaan:
Persamaan 1: $ab = a^b$
$4 	imes (1/2) = 4^{1/2}$
$2 = \sqrt{4}$
$2 = 2$. Persamaan 1 terpenuhi.

Persamaan 2: $a/b = a^{3b}$
$4 / (1/2) = 4^{3 	imes (1/2)}$
$4 	imes 2 = 4^{3/2}$
$8 = (\sqrt{4})^3$
$8 = 2^3$
$8 = 8$. Persamaan 2 terpenuhi.

Jadi, solusi $a=4$ dan $b=1/2$ memenuhi kedua persamaan tersebut. Namun, soal mensyaratkan $b>1$. Jika kita harus mengikuti syarat $b>1$, maka tidak ada solusi yang memenuhi.

Jika kita berasumsi ada kesalahan ketik dan soalnya mungkin mengarah pada solusi ini, maka nilai $a$ adalah 4.

Karena saya harus memberikan jawaban berdasarkan soal yang diberikan, dan soal tersebut mengarah pada kontradiksi dengan syarat yang diberikan, saya akan menyatakan bahwa berdasarkan syarat yang diberikan, tidak ada solusi real. Namun, jika syarat tersebut diabaikan, solusi yang memenuhi persamaan adalah $a=4$ dan $b=1/2$. Mengingat ini adalah soal matematika, kemungkinan besar ada kesalahan dalam penulisan syarat atau persamaan.

Jika kita harus memberikan nilai $a$, dan asumsi bahwa $a=4$ adalah jawaban yang dimaksud meskipun syarat $b>1$ tidak terpenuhi, maka jawabannya adalah 4.