Tentukan persamaan-persamaan garis singgung: pada lingkaran

Persamaan garis singgungnya adalah $3x + \sqrt{7}y = 24$ dan $3x - \sqrt{7}y = 24$.

Pembahasan

Untuk menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=36$ yang ditarik melalui titik $(8,0)$, kita dapat menggunakan beberapa metode. Salah satunya adalah dengan menggunakan konsep gradien.

Misalkan titik singgung pada lingkaran adalah $(x_1, y_1)$. Persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2=r^2$ di titik $(x_1, y_1)$ adalah $xx_1 + yy_1 = r^2$. Dalam kasus ini, $r^2=36$, jadi persamaan garis singgungnya adalah $xx_1 + yy_1 = 36$.

Karena titik $(8,0)$ terletak pada garis singgung, maka $(8,0)$ harus memenuhi persamaan garis singgung tersebut: $8x_1 + 0y_1 = 36$, yang menyederhanakan menjadi $8x_1 = 36$, sehingga $x_1 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$.

Karena titik $(x_1, y_1)$ juga terletak pada lingkaran $x^2+y^2=36$, maka kita substitusikan $x_1 = \frac{9}{2}$ ke dalam persamaan lingkaran: $(\frac{9}{2})^2 + y_1^2 = 36$
$rac{81}{4} + y_1^2 = 36$
$y_1^2 = 36 - \frac{81}{4}$
$y_1^2 = \frac{144 - 81}{4}$
$y_1^2 = \frac{63}{4}$
$y_1 = 

Dengan demikian, ada dua titik singgung: $(\frac{9}{2}, \frac{\sqrt{63}}{2})$ dan $(\frac{9}{2}, -\frac{\sqrt{63}}{2})$.

Sekarang kita dapat menentukan persamaan garis singgung untuk masing-masing titik singgung:

1. Untuk titik $(\frac{9}{2}, \frac{\sqrt{63}}{2})$:
$x(\frac{9}{2}) + y(\frac{\sqrt{63}}{2}) = 36$
Kalikan kedua sisi dengan 2: $9x + \sqrt{63}y = 72$
$9x + 3\sqrt{7}y = 72$
Bagi kedua sisi dengan 3: $3x + \sqrt{7}y = 24$

2. Untuk titik $(\frac{9}{2}, -\frac{\sqrt{63}}{2})$:
$x(\frac{9}{2}) + y(-\frac{\sqrt{63}}{2}) = 36$
Kalikan kedua sisi dengan 2: $9x - \sqrt{63}y = 72$
$9x - 3\sqrt{7}y = 72$
Bagi kedua sisi dengan 3: $3x - \sqrt{7}y = 24$

Jadi, persamaan-persamaan garis singgungnya adalah $3x + \sqrt{7}y = 24$ dan $3x - \sqrt{7}y = 24$.