Hitunglah nilai limit berikut a. lim x->0 (tan x- sin

a. 1/2, b. 4

Pembahasan

Untuk menghitung nilai limit tersebut, kita akan menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar.

a. lim x->0 (tan x - sin x) / x³
Substitusi x = 0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Kita gunakan aturan L'Hôpital.

Turunan dari (tan x - sin x) adalah sec²x - cos x.
Turunan dari x³ adalah 3x².

lim x->0 (sec²x - cos x) / 3x²
Substitusi x = 0 menghasilkan (1 - 1) / 0 = 0/0. Gunakan L'Hôpital lagi.

Turunan dari (sec²x - cos x) adalah 2secx(secx tanx) + sin x = 2sec²x tanx + sin x.
Turunan dari 3x² adalah 6x.

lim x->0 (2sec²x tanx + sin x) / 6x
Substitusi x = 0 menghasilkan (2*1*0 + 0) / 0 = 0/0. Gunakan L'Hôpital lagi.

Turunan dari (2sec²x tanx + sin x) adalah 2(2secx(secx tanx)tanx + sec²x sec²x) + cos x = 4sec²x tan²x + 2sec⁴x + cos x.
Turunan dari 6x adalah 6.

lim x->0 (4sec²x tan²x + 2sec⁴x + cos x) / 6
Substitusi x = 0 menghasilkan (4*1*0 + 2*1 + 1) / 6 = (0 + 2 + 1) / 6 = 3/6 = 1/2.

b. lim x->0 (3 sin x - sin 3x) / x³
Substitusi x = 0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0. Kita gunakan aturan L'Hôpital.

Turunan dari (3 sin x - sin 3x) adalah 3 cos x - 3 cos 3x.
Turunan dari x³ adalah 3x².

lim x->0 (3 cos x - 3 cos 3x) / 3x²
Substitusi x = 0 menghasilkan (3*1 - 3*1) / 0 = 0/0. Gunakan L'Hôpital lagi.

Turunan dari (3 cos x - 3 cos 3x) adalah -3 sin x - 3(-sin 3x * 3) = -3 sin x + 9 sin 3x.
Turunan dari 3x² adalah 6x.

lim x->0 (-3 sin x + 9 sin 3x) / 6x
Substitusi x = 0 menghasilkan (0 + 0) / 0 = 0/0. Gunakan L'Hôpital lagi.

Turunan dari (-3 sin x + 9 sin 3x) adalah -3 cos x + 9(cos 3x * 3) = -3 cos x + 27 cos 3x.
Turunan dari 6x adalah 6.

lim x->0 (-3 cos x + 27 cos 3x) / 6
Substitusi x = 0 menghasilkan (-3*1 + 27*1) / 6 = (-3 + 27) / 6 = 24/6 = 4.

Jadi:
a. Nilai limit untuk (tan x - sin x) / x³ adalah 1/2.
b. Nilai limit untuk (3 sin x - sin 3x) / x³ adalah 4.