Diberikan cos 160=-a. Nyatakan rasio trigonometri berikut

a. $\cos 20^{\circ} = a$ b. $\sin 160^{\circ} = \sqrt{1 - a^2}$ c. $\tan (-20^{\circ}) = -\sqrt{1 - a^2} / a$ d. $\sec 70^{\circ} = 1 / \sqrt{1 - a^2}$

Pembahasan

Diberikan $\cos 160^{\circ} = -a$. Kita perlu menyatakan rasio trigonometri berikut dalam huruf $a$.

a. $\cos 20^{\circ}$
Karena $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$, maka $\cos 160^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 20^{\circ}) = -\cos 20^{\circ}$.
Karena $\cos 160^{\circ} = -a$, maka $-a = -\cos 20^{\circ}$, sehingga $\cos 20^{\circ} = a$.

b. $\sin 160^{\circ}$
Karena $\sin(180^{\circ} - \theta) = \sin \theta$, maka $\sin 160^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 20^{\circ}) = \sin 20^{\circ}$.
Untuk mencari $\sin 20^{\circ}$, kita dapat menggunakan identitas $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$. Maka $\sin^2 20^{\circ} + \cos^2 20^{\circ} = 1$.
$\sin^2 20^{\circ} + (a)^2 = 1$
$\sin^2 20^{\circ} = 1 - a^2$
$\sin 20^{\circ} = \sqrt{1 - a^2}$ (karena $20^{\circ}$ berada di kuadran I, $\sin$ positif).
Jadi, $\sin 160^{\circ} = \sqrt{1 - a^2}$.

c. $\tan (-20^{\circ})$
Karena $\tan(-\theta) = -\tan \theta$, maka $\tan (-20^{\circ}) = -\tan 20^{\circ}$.
Kita tahu bahwa $\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta$. Maka $\tan 20^{\circ} = \sin 20^{\circ} / \cos 20^{\circ} = \sqrt{1 - a^2} / a$.
Jadi, $\tan (-20^{\circ}) = -(\sqrt{1 - a^2} / a) = -\sqrt{1 - a^2} / a$.

d. $\sec 70^{\circ}$
Karena $\sec \theta = 1 / \cos \theta$ dan $\cos(90^{\circ} - \theta) = \sin \theta$, maka $\sec 70^{\circ} = 1 / \cos 70^{\circ}$.
$\cos 70^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 20^{\circ}) = \sin 20^{\circ}$.
Dari poin b, kita tahu bahwa $\sin 20^{\circ} = \sqrt{1 - a^2}$.
Jadi, $\sec 70^{\circ} = 1 / \sin 20^{\circ} = 1 / \sqrt{1 - a^2}$.