Diberikan data berikut.6, x, 7, y, 8, z, 8, 9 a. Jika modus

Median = 7, Q1 = 6.5, Q3 = 8, QR = 1.5, Qd = 0.75

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan informasi yang diberikan mengenai modus, mean, dan data untuk menentukan nilai median, Q1, Q3, QR, dan Qd.

Data yang diberikan: 6, x, 7, y, 8, z, 8, 9
Jumlah data (n) = 8

Diketahui:
Modus = 7
Mean = 7,25

Modus adalah nilai yang paling sering muncul. Karena modus adalah 7, maka nilai 7 harus muncul lebih sering daripada nilai lainnya. Dalam data yang diberikan, angka 7 muncul sekali. Agar 7 menjadi modus, maka salah satu dari x, y, atau z harus bernilai 7, dan nilai 7 harus muncul lebih dari sekali. Jika x=7, maka 7 muncul dua kali. Jika y=7, maka 7 muncul dua kali. Jika z=7, maka 7 muncul dua kali. Agar 7 menjadi modus, setidaknya salah satu dari x, y, z harus 7, dan nilai lainnya tidak boleh sama dengan 7 dan tidak boleh muncul lebih dari dua kali.

Mean adalah jumlah semua data dibagi dengan banyaknya data.
Mean = $\frac{6 + x + 7 + y + 8 + z + 8 + 9}{8}$
7,25 = $\frac{38 + x + y + z}{8}$
7,25 * 8 = $38 + x + y + z$
58 = $38 + x + y + z$
$x + y + z = 58 - 38$
$x + y + z = 20$

Karena modus adalah 7, maka salah satu dari x, y, atau z harus bernilai 7. Kita akan mengeksplorasi kemungkinan.

Kasus 1: x = 7.
Jika x = 7, maka persamaan menjadi: $7 + y + z = 20$, sehingga $y + z = 13$.
Data menjadi: 6, 7, 7, y, 8, z, 8, 9.
Agar modus adalah 7, maka y dan z tidak boleh 7, dan tidak boleh ada nilai lain yang muncul dua kali. Nilai 8 sudah muncul dua kali. Jadi, y dan z tidak boleh 8. Jika y=8 atau z=8, maka 8 akan menjadi modus bersama 7, atau bahkan menjadi modus tunggal jika y=8 dan z=8.
Jika y=7, maka 7 muncul 3 kali, menjadi modus tunggal. Maka $7+z=13 
ightarrow z=6$. Data: 6, 7, 7, 7, 8, 6, 8, 9. Modus=7. Mean = (6+7+7+7+8+6+8+9)/8 = 58/8 = 7.25. Tapi nilai 6 muncul 2 kali, 7 muncul 3 kali, 8 muncul 2 kali. Modus adalah 7.
Jika y=6, maka $6+z=13 
ightarrow z=7$. Data: 6, 7, 7, 6, 8, 7, 8, 9. Modus=7. Nilai 6 muncul 2 kali, 7 muncul 3 kali, 8 muncul 2 kali. Modus adalah 7.

Mari kita asumsikan kasus yang paling sederhana agar modus adalah 7, yaitu hanya 7 yang muncul lebih dari sekali.
Jika x = 7, maka $y + z = 13$. Agar 7 menjadi modus tunggal, y dan z tidak boleh 7. Jika y=6, z=7 (tidak mungkin karena z tidak boleh 7). Jika y=5, z=8 (tidak mungkin karena 8 sudah ada 2 kali).

Jika kita menganggap bahwa hanya 7 yang muncul lebih dari satu kali, maka dari data awal 6, x, 7, y, 8, z, 8, 9, kita tahu 8 sudah muncul dua kali. Agar 7 menjadi modus, 7 harus muncul setidaknya dua kali, dan lebih banyak dari 8. Jadi, salah satu dari x, y, z harus 7, dan nilai lainnya tidak boleh 7 dan tidak boleh membuat nilai lain muncul lebih dari dua kali.

Kemungkinan lain: y = 7.
Jika y = 7, maka $x + 7 + z = 20$, sehingga $x + z = 13$.
Data: 6, x, 7, 7, 8, z, 8, 9.
Agar modus = 7, maka x dan z tidak boleh 7, dan tidak boleh membuat nilai lain muncul lebih dari dua kali. Nilai 8 sudah muncul dua kali. Jadi x dan z tidak boleh 8.
Jika x=6, z=7 (tidak mungkin). Jika x=5, z=8 (tidak mungkin).
Jika x=4, z=9. Data: 6, 4, 7, 7, 8, 9, 8, 9. Modus=7. Nilai 8 muncul 2 kali, 9 muncul 2 kali. Modus bisa 7 atau 8 atau 9.
Jika x=5, z=8 (tidak mungkin).
Jika x=9, z=4. Data: 6, 9, 7, 7, 8, 4, 8, 9. Modus=7. Nilai 9 muncul 2 kali, 8 muncul 2 kali. Modus bisa 7 atau 9 atau 8.

Kemungkinan lain: z = 7.
Jika z = 7, maka $x + y + 7 = 20$, sehingga $x + y = 13$.
Data: 6, x, 7, y, 8, 7, 8, 9.
Agar modus = 7, maka x dan y tidak boleh 7, dan tidak boleh membuat nilai lain muncul lebih dari dua kali. Nilai 8 sudah muncul dua kali. Jadi x dan y tidak boleh 8.
Jika x=6, y=7 (tidak mungkin). Jika x=5, y=8 (tidak mungkin).
Jika x=4, y=9. Data: 6, 4, 7, 9, 8, 7, 8, 9. Modus=7. Nilai 9 muncul 2 kali, 8 muncul 2 kali. Modus bisa 7 atau 9 atau 8.

Mari kita kembali ke kondisi mean: $x + y + z = 20$, dan modus = 7.
Agar 7 menjadi modus, setidaknya satu dari x, y, z adalah 7. Dan nilai 7 muncul lebih sering dari nilai lain.
Nilai yang sudah ada: 6 (1 kali), 7 (1 kali), 8 (2 kali), 9 (1 kali).
Agar 7 menjadi modus, maka 7 harus muncul setidaknya 2 kali, dan lebih sering dari 8. Jadi 7 harus muncul minimal 3 kali, atau 7 muncul 2 kali dan nilai lain (selain 8) muncul 1 kali.

Asumsi yang paling mungkin agar 7 menjadi modus tunggal adalah: salah satu dari x, y, z adalah 7, dan nilai lainnya tidak membuat frekuensi menjadi sama atau lebih dari frekuensi 7.

Jika salah satu dari x, y, z adalah 7, maka nilai 7 muncul minimal 2 kali.
Jika 7 muncul 2 kali, maka nilai lain tidak boleh muncul 2 kali atau lebih. Tapi 8 sudah muncul 2 kali. Jadi, 7 harus muncul lebih dari 2 kali agar menjadi modus tunggal.

Maka, salah satu dari x, y, z adalah 7, dan dua lainnya harus membuat 7 muncul 3 kali. Ini tidak mungkin karena hanya ada x, y, z.

Ini berarti salah satu dari x, y, z adalah 7, dan salah satu dari sisanya juga 7, sehingga 7 muncul 3 kali. Dan dua nilai yang tersisa tidak boleh 7 dan frekuensinya 1.

Jika x=7, y=7, maka $7+7+z=20 
ightarrow 14+z=20 
ightarrow z=6$. Data: 6, 7, 7, 7, 8, 6, 8, 9. Modus=7. Mean=7.25. Nilai 6 muncul 2 kali, 7 muncul 3 kali, 8 muncul 2 kali. Modus memang 7.
Data terurut: 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9.

a. Tentukan median data tersebut.
Median adalah nilai tengah dari data yang terurut. Karena ada 8 data, median adalah rata-rata dari data ke-4 dan ke-5.
Median = $\frac{7 + 7}{2} = 7$

b. Tentukan pula Q1, Q3, QR, dan Qd.
Q1 (Kuartil Pertama) adalah median dari separuh pertama data (setelah diurutkan).
Separuh pertama data: 6, 6, 7, 7. Mediannya adalah $\frac{6+7}{2} = 6.5$.
Jadi, Q1 = 6.5.

Q3 (Kuartil Ketiga) adalah median dari separuh kedua data (setelah diurutkan).
Separuh kedua data: 7, 8, 8, 9. Mediannya adalah $\frac{8+8}{2} = 8$.
Jadi, Q3 = 8.

QR (Rentang Kuartil) atau Interquartile Range (IQR) adalah selisih antara Q3 dan Q1.
QR = Q3 - Q1 = 8 - 6.5 = 1.5

Qd (Jangkauan Desil) atau Decile Range (DR) biasanya merujuk pada selisih antara dua desil, misalnya D9 - D1. Namun, dalam konteks soal ini, mungkin ada kekeliruan penulisan atau Qd merujuk pada hal lain. Jika diasumsikan Qd adalah Rentang (Range) data, maka:
Rentang = Nilai Maksimum - Nilai Minimum = 9 - 6 = 3.

Jika Qd merujuk pada Kuartil Deviasi (Semi-Interquartile Range), maka:
Qd = $\frac{Q3 - Q1}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75$

Mengacu pada konteks umum statistik, Qd seringkali merujuk pada Kuartil Deviasi.

Kesimpulan:
Median = 7
Q1 = 6.5
Q3 = 8
QR = 1.5
Qd (Kuartil Deviasi) = 0.75