Untuk masing-masing fungsi f(x) berikut, cari f'(x) dan

a. f'(x) = 6x^2 - 18x - 24, naik pada x < -1 atau x > 4. b. f'(x) = 4x^3 + 4x, naik pada x > 0.

Pembahasan

Untuk mencari turunan pertama (f'(x)) dan interval di mana fungsi f(x) selalu naik, kita akan menganalisis kedua fungsi yang diberikan.

Bagian a: f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24x + 7

Langkah 1: Cari turunan pertama, f'(x).
Turunan dari 2x^3 adalah 3 * 2x^(3-1) = 6x^2.
Turunan dari -9x^2 adalah 2 * -9x^(2-1) = -18x.
Turunan dari -24x adalah -24.
Turunan dari konstanta 7 adalah 0.
Maka, f'(x) = 6x^2 - 18x - 24.

Langkah 2: Tentukan interval di mana f(x) selalu naik.
Fungsi f(x) selalu naik ketika f'(x) > 0.
Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan: 6x^2 - 18x - 24 > 0.
Untuk menyederhanakan, kita bagi seluruh pertidaksamaan dengan 6:
x^2 - 3x - 4 > 0.

Faktorkan persamaan kuadrat x^2 - 3x - 4 = 0:
(x - 4)(x + 1) = 0.
Akar-akarnya adalah x = 4 dan x = -1.

Kita gunakan garis bilangan untuk menentukan kapan ekspresi (x - 4)(x + 1) positif. Titik-titik kritisnya adalah -1 dan 4.

Uji interval:
- Jika x < -1 (misal x = -2): (-2 - 4)(-2 + 1) = (-6)(-1) = 6 > 0 (Naik)
- Jika -1 < x < 4 (misal x = 0): (0 - 4)(0 + 1) = (-4)(1) = -4 < 0 (Turun)
- Jika x > 4 (misal x = 5): (5 - 4)(5 + 1) = (1)(6) = 6 > 0 (Naik)

Jadi, interval di mana f(x) selalu naik adalah x < -1 atau x > 4.

Bagian b: f(x) = x^4 + 2x^2

Langkah 1: Cari turunan pertama, f'(x).
Turunan dari x^4 adalah 4x^(4-1) = 4x^3.
Turunan dari 2x^2 adalah 2 * 2x^(2-1) = 4x.
Maka, f'(x) = 4x^3 + 4x.

Langkah 2: Tentukan interval di mana f(x) selalu naik.
Fungsi f(x) selalu naik ketika f'(x) > 0.
Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan: 4x^3 + 4x > 0.
Faktorkan ekspresi:
4x(x^2 + 1) > 0.

Kita tahu bahwa x^2 selalu non-negatif (x^2 >= 0), sehingga x^2 + 1 selalu positif (x^2 + 1 > 0) untuk semua nilai real x.
Oleh karena itu, tanda dari 4x(x^2 + 1) hanya bergantung pada tanda 4x.
Agar 4x(x^2 + 1) > 0, maka 4x harus positif.
4x > 0
x > 0.

Jadi, interval di mana f(x) selalu naik adalah x > 0.

Ringkasan:
Untuk f(x) = 2x^3 - 9x^2 - 24x + 7:
f'(x) = 6x^2 - 18x - 24. Interval naik: x < -1 atau x > 4.
Untuk f(x) = x^4 + 2x^2:
f'(x) = 4x^3 + 4x. Interval naik: x > 0.