Diberikan deret geometri tak hingga dengan U1=1 dan rasio

(1 - sqrt(5))/2 < x < (1 + sqrt(5))/2

Pembahasan

Sebuah deret geometri tak hingga dengan suku pertama U1=1 dan rasio r=x^2-x akan konvergen jika nilai mutlak dari rasio (|r|) kurang dari 1. Jadi, |x^2-x| < 1. Ini berarti -1 < x^2-x < 1. 

Pertidaksamaan pertama: x^2 - x < 1 
x^2 - x - 1 < 0. 
Akar-akar dari x^2 - x - 1 = 0 adalah x = (1 ± sqrt(1 - 4(1)(-1)))/2 = (1 ± sqrt(5))/2. Karena parabola terbuka ke atas, maka x^2 - x - 1 < 0 saat (1 - sqrt(5))/2 < x < (1 + sqrt(5))/2.

Pertidaksamaan kedua: x^2 - x > -1 
x^2 - x + 1 > 0. 
Diskriminan dari x^2 - x + 1 adalah (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3. Karena diskriminan negatif dan koefisien x^2 positif, maka x^2 - x + 1 selalu positif untuk semua nilai x real.

Jadi, agar deret konvergen, nilai x harus memenuhi (1 - sqrt(5))/2 < x < (1 + sqrt(5))/2.