Dengan menggunakan sifat-sifat turunan, tentukan turunan

Turunan fungsi f(x) adalah f'(x) = 8x^7 - 18x^5 - 12x^3 - 6x.

Pembahasan

Untuk menentukan turunan dari fungsi f(x) = (x-2)(x+2)(x^2+1)(x^4+1) menggunakan sifat-sifat turunan, kita dapat menyederhanakan fungsi terlebih dahulu sebelum melakukan turunan.

Perhatikan bahwa (x-2)(x+2) adalah bentuk selisih kuadrat, yang hasilnya adalah x^2 - 4.
Jadi, f(x) = (x^2 - 4)(x^2+1)(x^4+1).

Selanjutnya, perhatikan bahwa (x^2 - 4)(x^2+1) dapat dijabarkan, tetapi kita bisa melihat pola lain jika kita mengelompokkannya secara berbeda atau jika kita menyadari bahwa ini adalah bagian dari pola selisih kuadrat yang diperluas.

Mari kita jabarkan (x^2 - 4)(x^2+1):
f(x) = (x^4 + x^2 - 4x^2 - 4)(x^4+1)
f(x) = (x^4 - 3x^2 - 4)(x^4+1)

Sekarang, mari kita jabarkan perkalian ini:
f(x) = x^4(x^4+1) - 3x^2(x^4+1) - 4(x^4+1)
f(x) = (x^8 + x^4) - (3x^6 + 3x^2) - (4x^4 + 4)
f(x) = x^8 + x^4 - 3x^6 - 3x^2 - 4x^4 - 4
f(x) = x^8 - 3x^6 - 3x^4 - 3x^2 - 4

Sekarang, kita dapat mencari turunan f(x) menggunakan aturan pangkat (d/dx x^n = nx^(n-1)).
f'(x) = d/dx (x^8 - 3x^6 - 3x^4 - 3x^2 - 4)
f'(x) = 8x^(8-1) - 3*6x^(6-1) - 3*4x^(4-1) - 3*2x^(2-1) - 0
f'(x) = 8x^7 - 18x^5 - 12x^3 - 6x

Alternatif lain, kita bisa menyadari bahwa (x^2-4)(x^2+1)(x^4+1) jika dikalikan secara berurutan dengan cara yang berbeda akan lebih mudah.

Perhatikan:
(x-2)(x+2) = x^2 - 4

Jika kita kalikan dengan (x^2+1):
(x^2-4)(x^2+1) = x^4 + x^2 - 4x^2 - 4 = x^4 - 3x^2 - 4

Ini tidak tampak menyederhanakan. Mari kita coba cara lain:

Perhatikan:
(x-2)(x+2) = x^2 - 4

Jika kita mengalikan dengan (x^2+1), lalu (x^4+1):

Coba kita perhatikan kembali soal aslinya. Ada kemungkinan ada pola yang lebih tersembunyi.
(x-2)(x+2) = x^2-4

Mari kita gunakan aturan perkalian turunan (uv)' = u'v + uv'.
Misalkan u = (x-2)(x+2) = x^2-4, maka u' = 2x.
Misalkan v = (x^2+1)(x^4+1) = x^6 + x^2 + x^4 + 1 = x^6 + x^4 + x^2 + 1, maka v' = 6x^5 + 4x^3 + 2x.

f'(x) = u'v + uv'
f'(x) = 2x(x^6 + x^4 + x^2 + 1) + (x^2-4)(6x^5 + 4x^3 + 2x)
f'(x) = (2x^7 + 2x^5 + 2x^3 + 2x) + (6x^7 + 4x^5 + 2x^3 - 24x^5 - 16x^3 - 8x)
f'(x) = 2x^7 + 2x^5 + 2x^3 + 2x + 6x^7 - 20x^5 - 14x^3 - 8x
f'(x) = (2+6)x^7 + (2-20)x^5 + (2-14)x^3 + (2-8)x
f'(x) = 8x^7 - 18x^5 - 12x^3 - 6x

Kedua metode memberikan hasil yang sama. Metode penyederhanaan terlebih dahulu lebih efisien.