Jika a1, a2, a3 adalah barisan aritmetika dan a1, a2, a1+a3

3

Pembahasan

Diketahui bahwa a1, a2, a3 adalah barisan aritmetika. Ini berarti selisih antara suku-suku berurutan adalah konstan. Misalkan selisihnya adalah d, maka a2 = a1 + d dan a3 = a1 + 2d.
Selanjutnya, diketahui bahwa a1, a2, a1+a3 adalah barisan geometri. Ini berarti perbandingan antara suku-suku berurutan adalah konstan. Misalkan perbandingannya adalah r, maka a2 = a1 * r dan a1+a3 = a2 * r = (a1 * r) * r = a1 * r².
Dari barisan aritmetika, kita punya a2 = a1 + d dan a3 = a1 + 2d. Maka, a1 + a3 = a1 + (a1 + 2d) = 2a1 + 2d.
Dari barisan geometri, kita punya a2 = a1 * r dan a1 + a3 = a1 * r².
Ganti a2 dan a3 dalam persamaan geometri:
a1 + (a1 + 2d) = a1 * r²  => 2a1 + 2d = a1 * r²  (Persamaan 1)
Dan a1 + d = a1 * r (Persamaan 2)
Dari Persamaan 2, kita bisa menyatakan d dalam bentuk a1 dan r: d = a1 * r - a1 = a1(r - 1).
Substitusikan d ke dalam Persamaan 1:
2a1 + 2 * [a1(r - 1)] = a1 * r²
2a1 + 2a1*r - 2a1 = a1 * r²
2a1*r = a1 * r²
Karena a1 adalah suku pertama barisan, kita asumsikan a1 ≠ 0. Kita juga bisa asumsikan r ≠ 0.
Bagi kedua sisi dengan a1*r:
2 = r
Jadi, rasio barisan geometri adalah 2.
Sekarang kita perlu mencari a3/a1. Kita tahu r = a2/a1 dan r = (a1+a3)/a2.
Karena r = 2, maka a2 = 2*a1.
Dan a1 + a3 = a2 * r = (2*a1) * 2 = 4*a1.
Dari a1 + a3 = 4*a1, kita dapatkan a3 = 4*a1 - a1 = 3*a1.
Sekarang kita bisa menghitung a3/a1:
a3 / a1 = (3*a1) / a1 = 3.
Jadi, a3/a1 = 3.