Diberikan fungsi f(x) = akar((x^2 - 2x - 8)/(x^3 + 6x^2 +

Daerah asal fungsi adalah (-4, -2) U (-2, 0) U [4, ∞).

Pembahasan

Untuk menentukan daerah asal (domain) dari fungsi f(x) = akar((x^2 - 2x - 8)/(x^3 + 6x^2 + 8x)), kita perlu memastikan bahwa:
1. Ekspresi di dalam akar kuadrat tidak negatif (lebih besar dari atau sama dengan 0).
2. Penyebut tidak sama dengan 0.

**Langkah 1: Faktorkan pembilang dan penyebut.**
Pembilang: x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2)
Penyebut: x^3 + 6x^2 + 8x = x(x^2 + 6x + 8) = x(x + 2)(x + 4)

Jadi, fungsi dapat ditulis sebagai: f(x) = akar(((x - 4)(x + 2)) / (x(x + 2)(x + 4)))

**Langkah 2: Sederhanakan ekspresi (jika memungkinkan) dan tentukan syarat agar ekspresi tidak negatif.**
Kita bisa menyederhanakan (x + 2) dari pembilang dan penyebut, dengan syarat x ≠ -2.
f(x) = akar((x - 4) / (x(x + 4))), dengan x ≠ -2.

Sekarang kita perlu menyelesaikan ketidaksamaan:
(x - 4) / (x(x + 4)) >= 0

Kita gunakan garis bilangan dengan titik-titik kritis x = 4, x = 0, dan x = -4.

| Interval      | x - 4 | x     | x + 4 | (x - 4)/(x(x + 4)) |
|---------------|-------|-------|-------|--------------------|
| x < -4        | -     | -     | -     | -                  |
| -4 < x < 0    | -     | -     | +     | +                  |
| 0 < x < 4     | -     | +     | +     | -                  |
| x > 4         | +     | +     | +     | +                  |

Agar ekspresi >= 0, kita perhatikan interval di mana hasilnya positif atau nol:
-4 < x < 0  atau  x >= 4.

**Langkah 3: Perhatikan syarat penyebut tidak nol dan penyederhanaan.**
Syarat penyebut tidak nol: x ≠ 0, x ≠ -2, x ≠ -4.
Syarat dari penyederhanaan: x ≠ -2.

Menggabungkan semua syarat:
Dari ketidaksamaan, kita memiliki -4 < x < 0 atau x >= 4.

*   Kita harus mengecualikan x = -4 dan x = 0 karena membuat penyebut nol.
*   Kita harus mengecualikan x = -2 karena membuat penyebut nol pada bentuk aslinya (meskipun tersederhanakan).

Jadi, interval yang memenuhi adalah:
(-4, 0) dan [4, ∞)

Namun, kita harus mengecualikan x = -2 dari interval (-4, 0).

Sehingga daerah asalnya adalah (-4, -2) U (-2, 0) U [4, ∞).

**Jawaban:**
Daerah asal fungsi f adalah himpunan semua bilangan real x sedemikian sehingga -4 < x < -2, atau -2 < x < 0, atau x >= 4.