Diberikan fungsi f(x)=(x^2-x+1)/(x^2+x+1), dengan daerah

Fungsi f(x) naik pada (-∞, -1) U (1, ∞) dan turun pada (-1, 1).

Pembahasan

Untuk menentukan interval naik dan turunnya fungsi f(x) = (x^2 - x + 1) / (x^2 + x + 1), kita perlu mencari turunan pertama fungsi tersebut (f'(x)) dan menganalisis tandanya.

Pertama, kita gunakan aturan kuosien untuk mencari turunan f(x):
f'(x) = [(2x - 1)(x^2 + x + 1) - (x^2 - x + 1)(2x + 1)] / (x^2 + x + 1)^2

Sekarang, kita ekspansi dan sederhanakan pembilangnya:
Pembilang = (2x^3 + 2x^2 + 2x - x^2 - x - 1) - (2x^3 + x^2 - 2x^2 - x + 2x + 1)
= (2x^3 + x^2 + x - 1) - (2x^3 - x^2 + x + 1)
= 2x^3 + x^2 + x - 1 - 2x^3 + x^2 - x - 1
= 2x^2 - 2

Jadi, f'(x) = (2x^2 - 2) / (x^2 + x + 1)^2

Untuk mencari interval naik, kita atur f'(x) > 0:
(2x^2 - 2) / (x^2 + x + 1)^2 > 0
Karena penyebut (x^2 + x + 1)^2 selalu positif (karena diskriminan x^2+x+1 adalah 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0, sehingga nilai x^2+x+1 selalu positif), kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya:
2x^2 - 2 > 0
2(x^2 - 1) > 0
x^2 - 1 > 0
(x - 1)(x + 1) > 0
Ini terjadi ketika x < -1 atau x > 1.
Jadi, fungsi f(x) naik pada interval (-∞, -1) U (1, ∞).

Untuk mencari interval turun, kita atur f'(x) < 0:
(2x^2 - 2) / (x^2 + x + 1)^2 < 0
Sama seperti sebelumnya, kita hanya perlu memperhatikan pembilangnya:
2x^2 - 2 < 0
2(x^2 - 1) < 0
x^2 - 1 < 0
(x - 1)(x + 1) < 0
Ini terjadi ketika -1 < x < 1.
Jadi, fungsi f(x) turun pada interval (-1, 1).

Kesimpulan:
Fungsi f(x) naik pada interval (-∞, -1) dan (1, ∞).
Fungsi f(x) turun pada interval (-1, 1).