Diberikan persamaan kuadrat x^2-2x-2mx+3m+3=0. Carilah

a. $-1 < m < 2$. b. $-1 < m < 2$.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai m agar akar-akar persamaan kuadrat $x^2-2x-2mx+3m+3=0$ tidak real, kita perlu menggunakan diskriminan (D). Agar akar-akar tidak real, diskriminan harus lebih kecil dari nol ($D < 0$). Pertama, kita susun ulang persamaannya menjadi bentuk standar $ax^2+bx+c=0$: $x^2 + (-2-2m)x + (3m+3) = 0$. Di sini, $a=1$, $b=-2-2m$, dan $c=3m+3$. Diskriminan dihitung dengan rumus $D = b^2 - 4ac$. Substitusikan nilai a, b, dan c: $D = (-2-2m)^2 - 4(1)(3m+3) = (4 + 8m + 4m^2) - (12m + 12) = 4m^2 - 4m - 8$. Agar akar-akar tidak real, $D < 0$, sehingga $4m^2 - 4m - 8 < 0$. Bagi seluruhnya dengan 4: $m^2 - m - 2 < 0$. Faktorkan kuadrat ini: $(m-2)(m+1) < 0$. Pertidaksamaan ini terpenuhi ketika nilai m berada di antara -1 dan 2, yaitu $-1 < m < 2$. 

Untuk menentukan nilai m agar kedua akar persamaan kuadrat tersebut positif, kita perlu memenuhi tiga syarat: 1. Diskriminan harus non-negatif ($D 
less 0$, atau $D 
less 0$). 2. Jumlah akar-akar harus positif ($-b/a > 0$). 3. Hasil kali akar-akar harus positif ($c/a > 0$). 
Dari perhitungan sebelumnya, kita tahu bahwa $D = 4m^2 - 4m - 8$. Syarat pertama adalah $D 
less 0$, yang berarti $4m^2 - 4m - 8 
less 0$, atau $m^2 - m - 2 
less 0$. Ini memberikan solusi $-1 < m < 2$. 
Syarat kedua adalah jumlah akar-akar positif. Jumlah akar adalah $-b/a = -(-2-2m)/1 = 2+2m$. Agar positif, $2+2m > 0$, yang berarti $2m > -2$, atau $m > -1$. 
Syarat ketiga adalah hasil kali akar-akar positif. Hasil kali akar adalah $c/a = (3m+3)/1 = 3m+3$. Agar positif, $3m+3 > 0$, yang berarti $3m > -3$, atau $m > -1$. 
Untuk memenuhi ketiga syarat tersebut, kita perlu mencari irisan dari ketiga kondisi: $-1 < m < 2$, $m > -1$, dan $m > -1$. Irisan dari kondisi-kondisi ini adalah $-1 < m < 2$.